Funzioni (superiori)

Esempio di funzione con i diagrammi di Eulero-Venn

Una funzione da $X$ a $Y$ è una relazione che associa ad ogni elemento di $X$ uno e un solo elemento di $Y$. Se $f$ è questa funzione si scrive

$f:X\mapsto Y$.

Terminologia

Dalla definizione si capisce l'importantaza dei due insiemi considerati. Diciamo quindi che:

• l'insieme $X$ è il dominio della funzione $f$ e lo si può indicare con $\text{dom}(f)$;
• l'insieme $Y$ è il codominio di $f$.

Dato un elemento $x\in X$, l'elemento del codominio $Y$ che è fatto corrispondere a $x$ mediante $f$ prende il nome di immagine di $x$ mediante $f$ e si indica con $f(x)$. In tal caso $x$ si dice controimmagine di $y$ mediante $f$. Chiamiamo insieme immagine di $X$ mediante $f$ l'insieme

$\text{Im}(f)=f(X):=\{f(x)|x\in X\}$.

Interpretazione grafica

Quando si ha una funzione reale di variabile reale, ovvero del tipo

$\gamma :X\mapsto Y$ con $X,Y\subseteq ℝ$,

è naturale rappresentarla sul piano cartesiano con un insieme di punti (ad es. una curva, una retta, ... ). Dalla definizione si deduce che sul piano cartesiano ogni retta perpendicolare all'asse delle ascisse in un punto $(x;0)$, con $x\in \text{dom}(\gamma )$, interseca la funzione in uno e un solo punto.

Facciamo alcuni esempi.

• 
  Le rette non perpendicolari all'asse delle ascisse sono funzioni.
• 
  Le parabole ad asse verticale sono funzioni.
• 
  Le parabole ad asse orizzontale non sono funzioni.
• 
  Le circonferenze non sono funzioni.

Funzioni suriettive, iniettive e biunivoche

Funzioni suriettive

Una funzione si dice suriettiva se e solo se l'insieme immagine coincide con il codominio.

In altri termini, una funzione

$f:X\to Y$

è suriettiva se e solo se

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X,f(x)=y$.

Esempi

Se consideriamo funzioni $ℝ\to ℝ$, sono suriettive le rette, la funzione tangente, le potenze dispari (ad esempio $f(x)=x^3,f(x)=x^5$, etc.) etc. In questo stesso ambito non possiamo considerare funzioni suriettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli, né le funzioni seno e coseno, né i logaritmi etc.

Funzioni iniettive

Una funzione si dice iniettiva se e solo ogni elemento del codominio ha al più una controimmagine nel dominio.

Si può dire dunque che $f:X\to Y$ è iniettiva se e solo se

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$.

In alternativa, utilizzando il concetto di immagine, la funzione si può definire iniettiva se:

$\mathrm{\forall }y\in \text{Im}f\mathrm{\exists }!x\in X,f(x)=y$.

Note:$\mathrm{\exists }!...$ = "esiste uno e un solo..."

Esempi

Sono iniettive le rette, i logaritmi, le iperboli equilatere, le potenze dispari ($f(x)=x^3,f(x)=x^5$) etc. Sempre nello stesso ambito non possiamo considerare iniettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli non equilatere, né tutte le funzioni periodiche, tra cui seno e coseno e tangente etc.

Funzioni biunivoche

Una funzione è biunivoca(o biiettiva) se e solo se è suriettiva ed iniettiva.

Quindi la funzione $f:X\to Y$ è biunivoca se e solo se

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }!x\in X,f(x)=y$.

Successioni

Oltre a quelle reali di variabile reale che abbiamo già visto, esistono delle particolari funzioni chiamate successioni. Le successioni sono funzioni del tipo

$f:\mathbb{N}\mapsto L$.

In particolare quando $L=ℝ$, la successione si dice reale. Una successione reale si indica con la notazioni

$\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $x_0,x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1},...$

dove $x_n=f(n)$ è detto n-esimo termine della successione. Spesso quando è sottinteso oppure dal contesto si comprende che " $n\in \mathbb{N}$ ", si può scrivere semplicemente $\{x_n\}$, $(x_n)$.

Funzioni reali di variabile reale

Le funzioni $f:ℝ\to ℝ$ sono quelle più comunemente trattate dall'analisi e possono possedere, a certe condizioni, alcune particolari proprietà che in genere si studiano su tali funzioni nonostante il fatto che queste stesse proprietà siano spesso applicabili a funzioni non necessariamente di variabile reale.

Funzioni limitate

Una funzione $f:X\to Y$ si dice limitata superiormente, inferiormente o entrambe se per ogni x f (x) è relativamente minore di un valore M o maggiore di un valore m o entrambi, con $m,M\in Y$

• Limitata superiormente: $\mathrm{\forall }x\in Xf(x)<M,M\in Y$
• Limitata inferiormente: $\mathrm{\forall }x\in Xf(x)>m,m\in Y$

Funzioni contenenti simmetrie

• Funzioni pari: sono funzioni simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, per cui vale la relazione:

$f(-x)=f(x)$

• Funzioni dispari: sono funzioni simmetriche rispetto all'origine degli assi, per cui vale la relazione:

$f(-x)=-f(x)$

Funzioni monotòne

Una funzione si definisce monotòna se essa è sempre crescente (o al più costante) o sempre decrescente (o al più costante) nel suo dominio.

Una funzione si dice invece strettamente monotona se è sempre crescente o sempre decrescente ma mai costante. Se invece si intende sottolineare che una funzione è monotona ma non strettamente monotona, allora si può dire monotona in senso lato. Se la funzione è monotona e crescente si difinisce monotona crescente, se essa è monotona e decrescente si definisce monotona decrescente.

Dunque, una funzione $f:X\to Y$ è monotona crescente, in senso lato se:

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1\le x_2|f(x_1)\le f(x_2)$

Mentre è monotona decrescente, in senso lato se:

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1\le x_2|f(x_1)\ge f(x_2)$

Invece, per esempio, una funzione strettamente monotona, crescente è caratterizzata dalla seguente proprietà:

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1<x_2|f(x_1)<f(x_2)$

vale a dire che i rapporti di comparazione sono di $<$ e non di $\le$.

Funzioni inverse

La funzione inversa $f^{-1}$ di una funzione $f:X\to Y$ iniettiva è quella funzione che a partire dai valori $y=f(x)\in Y$ restituisce i valori di partenza di $f$, ovvero i valori $x\in X$ del dominio di $f$, per cui data:

$f:X\to Y$

con $D^{\prime }=Imf$ e soprattutto $f$ iniettiva (condizione fondamentale),

vale:

$f^{-1}:D^{\prime }\to X|f^{-1}(f(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X$ oppure, similmente, $\mathrm{\forall }y=f(x)\in D^{\prime }$

La condizione di iniettività di f è fondamentale, tantoché per ottenere le funzioni inverse di alcune funzioni non iniettive con dominio $ℝ$ (come $\sin (x),\cos (x),\tan (x)$ ), quando è possibile si restringe arbitrariamente il dominio ad un intervallo limitato in cui la funzione si mantiene iniettiva.