Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Radici artimetiche

Sia $n\in \mathbb{N}$ fissato, $x\in ℝ,x\ge 0$. Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

$y\in ℝ:y^n=x$

La radice n-esima di un numero $x$ si indica

$\sqrt[n]{x}{x}^{\frac{1}{n}}$

Esistenza delle radici

Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)

Template:Riquadro TEOREMA (Radice aritmetica): siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2.

Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che $w^n=x$

Dimostrazione dell unicità della soluzione

Ragioniamo per assurdo: supponiamo che esistano 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

a,b appartenenti ai reali diversi fra loro.

$0<a<b$

$a^n=x,b^n=x$

$x=a^n<b^n=x$ questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

Funzione radice

Consideriamo la funzione radice $r:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}r(x)=x^n=y$. Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni $x\in ℝ$, dunque $r$ è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

$r^{-1}(y)=\sqrt[n]{x}$