Gravitazione

Un po' di storia

Quando nel 1687 Newton pubblica i "Principia" e decreta la nascita della teoria della gravitazione chiude una disputa che nasce con Aristotele (384-322 a.C.) e la sua visione della Terra al centro dell'universo e si trascina nei secoli attraverso la visione geocentrica di Tolomeo (140 a.C.), eliocentrica di Copernico (1473-1543) e le tre leggi di Keplero (1571-1630) si pongono le basi per la soluzione newtoniana.

Le leggi di Keplero sono le seguenti:

Prima Legge di Keplero

I pianeti percorrono orbite ellittiche attorno al sole che occupa uno dei fuochi dell'orbita.

Seconda Legge di Keplero

La velocità areale con cui il raggio vettore spazza l'orbita è costante

Terza Legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita ovvero $T^2=k{r}^3$

Keplero ci da una descrizione che descrive il moto ma non le cause che lo provocano. A risolvere questo problema ci pensa Newton che comprende come le stesse leggi che regolano la caduta della celeberrima mela sono le stesse regolano il moto dei corpi celesti. In un colpo solo Newton trova una legge di validità universale che ancora oggi, a basse velocità, è perfettamente valida.

La Gravitazione Universale

Quello che si è detto nella dinamica del punto riguardo alla costanza del momento angolare in un campo di forze centrali è fondamentale: una forza che permetta ad un corpo di muoversi su di una traiettoria circolare con velocità costante deve essere solo centripeta e quindi diretta verso il centro di curvatura. Quindi avremo che $F=ma=m{\omega }^{2}r=mr(\frac{2\pi }{T}{)}^2$

Ora utilizziamo la terza legge di Keplero ed otteniamo che la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza infatti $F=\frac{4{\pi }^{2}m}{k{r}^2}$

Se consideriamo due pianeti e che per la terza legge di Newton la forza esercitata dal primo sul secondo provoca una forza di intensità uguale in modulo e di verso contrario abbiamo che $\frac{4{\pi }^2{m}_1}{k_1{r}_1^2}=\frac{4{\pi }^2{m}_2}{k_2{r}_2^2}$; da ciò risulta $m_1{k}_2=m_2{k}_1$ e definendo come $\gamma =\frac{4{\pi }^2}{m_1{k}_2}=\frac{4{\pi }^2}{m_2{k}_1}$ concludiamo che

$F=\gamma \frac{m_1{m}_2}{r^2}$

e vettorialmente

${\overrightarrow{F}}_{1,2}=-\gamma \frac{m_1{m}_2}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{1,2}$

È questo infine il cuore dell'ipotesi di Newton. La determinazione diretta di $\gamma$ che è una costante universale caratteristica dell'interazione gravitazionale è dovuta a Cavendish nel 1798 e vale $\gamma =6.67\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2}$

Il campo gravitazionale

La formula della gravitazione universale permette di isolare il contributo che deriva da una delle due masse nel senso che la possiamo scrivere come ${\overrightarrow{F}}_{1,2}=(-\gamma \frac{m_1}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{1,2})m_2=m_2{\overrightarrow{G}}_1$ con

${\overrightarrow{G}}_1=-\gamma \frac{m_1}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{1,2}$

Il vettore $\overrightarrow{G}$ viene chiamato campo gravitazionale e possiamo dire che una massa modifica lo spazio circostante. Corpi che entrano in questa regione risentono dell'influenza della massa generatrice. Una delle prime osservazioni di un campo gravitazionale fu la lastra fotografica scattata da Eddington nel 1919 alla ricerca di una conferma della teoria della relatività generale di Einstein. Il fatto che la massa generi una effettiva modifica geometrica del continuo spazio-temporale è argomento della relatività generale.

Lavoro della forza gravitazionale

Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale $dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=-\gamma \frac{m_1{m}_2}{r^2}\overrightarrow{u}d\overrightarrow{s}=-\gamma \frac{m_1{m}_2}{r^2}dr=-\mathrm{\Delta }{E}_p$.

Otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale

$E_p=-\gamma \frac{m_1{m}_2}{r}$

Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito $E_p=0eF=0$, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità.

Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo $V=-\gamma \frac{m}{r}$ e di conseguenza

$\overrightarrow{G}=-\overrightarrow{grad}V=-\mathrm{\nabla }V$

come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo.