Gruppi e sottogruppi (algebra)

Operazione binaria

Una operazione binaria su un dato insieme $A$ non vuoto è una funzione

$\ast :A\times A\mapsto A$.

Non useremo mai la notazione $\ast (x,y)$ per indicare l'immagine di $(x,y)\in A\times A$ mediante la funzione $\ast$, ma scriveremo più semplicemente $x\ast y$.

Inoltre chiameremo magma l'oggetto $⟨A,\ast ⟩$, dove $A$ è detto sostegno del magma.

Semigruppi

Un semigruppo è una magma $⟨A,\ast ⟩$, dove $\ast$ è una operazione binaria associativa, ovvero tale che per ogni $x,y,z\in A$ si ha

$(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$.

Un esempio di semigruppo è dato da $⟨\mathbb{N},+⟩$ ossia dai naturali con l'usuale operazione di somma.

Elemento Neutro & Monoidi

Sia $⟨A,\ast ⟩$ un magma; un elemento $e\in A$ è detto elemento neutro se e solo se

$\mathrm{\forall }a\in Ae\ast a=a\ast e=a$.

Se un magma ha elemento neutro allora esso è unico. Infatti sia $u\in A$ un elemento neutro e lo sia anche $u^{\prime }\in A$. Si ha, essendo entrambi elementi neutri,

$u=u\ast u^{\prime }=u^{\prime }$.

Chiameremo monoide un semigruppo con elemento neutro; in tal caso scriveremo $⟨A,\ast ,e⟩$, dove $e$ è l'elemento neutro del magma $⟨A,\ast ⟩$.

Elementi invertibili & Gruppi

Sia $⟨A,\ast ,e⟩$ un monoide; un elemento $a\in A$ si dice invertibile se esiste un $a^{\prime }\in A$, che in seguito verrà denotato con $a^{-1}$, tale che

$a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e;$

indicheremo con

$U(A):=\{a\in A:\mathrm{\exists }{a}^{\prime }\in A,a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e\}$

l'insieme degli elementi invertibili del monoide $A$. Un gruppo è un monoide $⟨A,\ast ,e⟩$ in cui

$U(A)\equiv A,$

ovvero un monoide i cui elementi sono tutti invertibili. Un gruppo $⟨A,\ast ,e⟩$ è detto abeliano se

$\mathrm{\forall }x,y\in Ax\ast y=y\ast x$.

Sottogruppi

Sia $⟨A,\ast ,e⟩$ un gruppo; un sottoinsieme $U\subseteq A$ è detto sottogruppo del gruppo $A$, e scriveremo $U\le A$, se valgono

• $\mathrm{\forall }u,v\in Uu\ast v\in U;$
• $\mathrm{\forall }u\in U{u}^{-1}\in U.$

Si noti che la condizione che vi appartenga l'elemento neutro non è necessaria: infatti se $v\in U\le A$ allora vi apparterrà anche $v^{-1}$ e il loro prodotto $v\ast v^{-1}=e$.

Una caratterizzazione

Un sottoinsieme $\mathrm{\varnothing }\ne U\subset A$, con $⟨A,\ast ,e⟩$ gruppo, è un sottogruppo se e solo se

$\mathrm{\forall }u,v\in Uu\ast v^{-1}\in U.$

Infatti se