Gruppo delle permutazioni su tre elementi

Template:Risorsa Costruisco $S_3$, il gruppo delle permutazioni su tre elementi:

$i=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$

$a=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$

$b=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$

$c=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$

$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$

$y=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$

$\cdot$	[i]	[a]	[b]	[c]	[x]	[y]
[i]	i	a	b	c	x	y
[a]	a	i	y	x	c	b
[b]	b	x	i	y	a	c
[c]	c	y	x	i	b	a
[x]	x	b	c	a	y	i
[y]	y	c	a	b	i	x

Come si può vedere, non vale la proprietà commutativa. Per esempio,

$a\circ b\ne b\circ a$

Definisco inoltre i sottoinsiemi

$A=\{i,a\}$

$B=\{i,b\}$

$C=\{i,c\}$

$N=\{i,x,y\}$

Questi sottoinsiemi sono strutture chiuse, sono dei sottogruppi di $S_3$. Si ha

$A\cup B\cup C\cup N=S_3$

Laterali

Fisso $B\subseteq S_3$. L'insieme dei laterali sinistri di $S_3$ è

$𝒮=\{iB,aB,bB,cB,xB,yB\}$

dove:

• $iB=\{ii,ib\}=\{i,b\}=B$
• $aB=\{ai,ab\}=\{a,y\}$
• $bB=\{bi,bb\}=\{b,i\}$
• $cB=\{ci,cb\}=\{c,x\}$
• $xB=\{xi,xb\}=\{x,c\}$
• $yB=\{yi,yb\}=\{y,a\}$

Quindi, $S_3$ si può dividere in 3 sottoinsiemi. Questi sono i laterali sinistri di $S_3$, $𝒮$, e sono una partizione di $S_3$. Analogamente, si possono costruire i laterali destri:

$𝒟=\{Bi,Ba,Bb,Bc,Bx,By\}$

dove:

• $Bi=\{ii,bi\}=\{i,b\}=B$
• $Ba=\{ia,ba\}=\{a,x\}$
• $Bb=\{ib,bb\}=\{b,i\}=B$
• $Bc=\{ic,bc\}=\{c,y\}$
• $Bx=\{ix,bx\}=\{x,a\}$
• $By=\{iy,by\}=\{y,c\}$

Anche l'insieme dei laterali destri $𝒟$, come l'insieme dei laterali destri, è una partizione di $S_3$.

Sottogruppo normale

Considero il sottoinsieme

$N=\{i,x,y\}$

Si ha:

• $𝒮N=\{N,aN,bN,cN,xN,yN\}$
• $𝒟N=\{N,Na,Nb,Nc,Nx,Ny\}$
• $aN=\{ai,ax,ay\}=\{a,c,b\}$
• $bN=\{a,b,c\}$
• $cN=\{a,b,c\}$
• $xN=yN=N$

Si ottiene che il sottogruppo $N$ di $S_3$ è normale $(N◃S_3)$, quindi le partizioni dei laterali destro e sinistro coincidono.

$\frac{S_3}{{\equiv }_1}=\{B,aB,cB\}=\{\{i,b\},\{a,y\},\{a,x\}\}$

Operazione indotta

Prendendo in considerazione gli insiemi $Bc$ e $Bx$, si ha

• $[a][c]=[ac]=[x]$
• $[x][y]=[x,y]=[i]$

Cambiando i rappresentanti ho trovato due soluzioni diverse, quindi l'operazione di partenza non può essere indotta.