I moduli tecnici

Template:Risorsa I moduli tecnici precedentemente introdotti hanno un significato fisico ben preciso.

Per comprendere ciò si consideri uno stato di tensione monoassiale, in cui ad esempio agisca solo la tensione ${\sigma }_{11}$. In questa condizione si ha:

$\{\begin{array}{c}{ϵ}_{11}=\frac{1}{E}{\sigma }_{11}\\ {ϵ}_{22}={ϵ}_{33}=-\frac{1}{E}\nu {\sigma }_{11}\\ {\gamma }_{12}={\gamma }_{13}={\gamma }_{23}=0\end{array}$

Il modulo $E$, cioè, rappresenta un coefficiente di proporzionalità tra la tensione agente in una direzione e la dilatazione lineare che essa provoca nella sua stessa direzione. Rappresenta, cioè, la capacità che il corpo oppone al tentativo di deformazione offerto dalla tensione considerata, e all'aumentare del suo valore decresce la deformazione sotto una medesima tensione.

Il coefficiente $\nu$ rappresenta il rapporto esistente tra le deformazioni laterali ${ϵ}_{22}={ϵ}_{33}$ e la deformazione nella direzione della tensione applicata. Esso rappresenta, in pratica, la capacità che il corpo ha di opporsi all'espansione o alla contrazione laterale. All'aumentare del suo valore si ha un aumento delle deformazioni laterali.

Si consideri ora uno stato tensionale in cui agisca solo una tensione ${\tau }_{12}$. In questo caso l'unica componente di deformazione presente è:

${\gamma }_{12}=\frac{1}{G}{\tau }_{12}$

Il modulo $G$, cioè, rappresenta il corrispettivo per le tensioni tangenziali del modulo $E$, ed è dunque la capacità che il corpo ha di opporsi agli scorrimenti.

Correlazioni tra i moduli tecnici

I moduli tecnici, in realtà, non sono indipendenti tra loro: noti due di essi, è possibile derivare la conoscenza del terzo.

Per dimostrare questa asserzione si considerino le relazioni di elasticità trovate in precedenza riferite a due deformazioni lineari generiche, di normali $𝐧;𝐦$ e supponendo ad esempio che l'altra normale coincida con la direzione $y_3$:

$\{\begin{array}{c}{ϵ}_n=\frac{1}{E}[{\sigma }_n-\nu ({\sigma }_m+{\sigma }_{33})]\\ {ϵ}_m=\frac{1}{E}[{\sigma }_m-\nu ({\sigma }_n+{\sigma }_{33})]\end{array}$

Sottraendo i termini si ottiene:

${ϵ}_n-{ϵ}_m=\frac{1}{E}[{\sigma }_n-\nu ({\sigma }_m+{\sigma }_{33})]-\frac{1}{E}[{\sigma }_m-\nu ({\sigma }_n+{\sigma }_{33})]$

Da cui:

$E({ϵ}_n-{ϵ}_m)={\sigma }_n-\nu ({\sigma }_m+{\sigma }_{33})-{\sigma }_m+\nu ({\sigma }_n+{\sigma }_{33})\to$

$\to E({ϵ}_n-{ϵ}_m)=(1+\nu )({\sigma }_n-{\sigma }_m)$

Si supponga ora che le direzioni considerate coincidano con le bisettrici del piano $y_1,y_2$, per cui caratterizzate dai coseni direttori $n_1=\sqrt{2}/2;n_2=\sqrt{2}/2;n_3=0;m_1=-\sqrt{2}/2;m_2=\sqrt{2}/2;m_3=0$. Essendo ${ϵ}_n=\sum _{i,k=1}^3{ϵ}_{ik}{n}_i{n}_k$ si ottiene:

$\begin{array}{c}{ϵ}_n=\frac{{ϵ}_1}{2}+\frac{{ϵ}_2}{2}+\frac{{\gamma }_{12}}{2}\\ {ϵ}_m=\frac{{ϵ}_1}{2}+\frac{{ϵ}_2}{2}-\frac{{\gamma }_{12}}{2}\end{array}$

Sottraendo membro a membro:

${ϵ}_n-{ϵ}_m={\gamma }_{12}$

Agendo in maniera analoga si può ottenere:

${\sigma }_n-{\sigma }_m=2{\tau }_{12}$

Si può, dunque, scrivere:

$E({ϵ}_n-{ϵ}_m)=(1-\nu )({\sigma }_n-{\sigma }_m)\to E{\gamma }_{12}=2(1+\nu ){\tau }_{12}\to G=\frac{E}{2(1+\nu )}$

Di conseguenza, le costanti elastiche indipendenti nel caso di materiale iperelastico lineare omogeneo e isotropo si riducono a due.

Valori dei moduli tecnici

I moduli tecnici, tuttavia, non possono assumere valori qualsiasi. I limiti imposti ai loro valori si deducono direttamente dalla definizione di energia di deformazione, e dalla considerazione fatta della sua necessaria positività. Esprimendola in termini di tensioni principali si ottiene:

$\varphi =\frac{1}{2E}(s_1^2+s_2^2+s_3^2)-\frac{\nu }{E}(s_1{s}_2+s_1{s}_3+s_2{s}_3)$

La positività di questa equazione può essere studiata attraverso la positività della matrice associata:

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{E}& -\frac{\nu }{E}& -\frac{\nu }{E}\\ -\frac{\nu }{E}& \frac{1}{E}& -\frac{\nu }{E}\\ -\frac{\nu }{E}& -\frac{\nu }{E}& \frac{1}{E}\end{array}\right]$

Senza entrare nei dettagli matematici, la risoluzione del problema porta a definire i seguenti limiti teorici:

$\{\begin{array}{c}E>0\\ G>0\\ -1<\nu <\frac{1}{2}\end{array}$

Si fa notare che un valore di $\nu$ negativo corrisponde ad una situazione in cui un corpo in trazione si espande lateralmente e viceversa un corpo in compressione. Questo fatto, per quanto teoricamente possibile, è controintuitivo e nelle applicazioni pratiche, da riscontri con i dati sperimentali, si preferisce fornire la limitazione che:

$0<\nu <\frac{1}{2}$