Insiemi, relazioni e funzioni

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Un insieme $A$ si indica con

$A=\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a,a,b,a\}$

e non importa quale sia l'ordine o il numero di volte in cui si ripete un elemento nell'elenco.

Una sequenza $A$ si indica con

$A=(a,b,c)$

ed è diversa dalla sequenza

$B=(a,c,b)$

in quanto due sequenze sono equivalenti se e solo se hanno gli stessi elementi nelle stesse posizioni.

Se la n-upla contiene soltanto elementi in $ℝ$, allora si ha

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in ℝ\mathbb{\times }ℝ\mathbb{\times }\mathbb{\cdots }\mathbb{\times }ℝ={ℝ}^n$

Nel caso in cui $C$ sia una funzione, la notazione diventa

$\begin{array}{cccc}f:& A& \to & B\\ & x& \to & y\end{array}$

dove $f(x)=y$.

L'immagine di una funzione coincide con il suo codominio sse è suriettiva. Se una funzione è suriettiva, la si può chiamare suriezione; se una funzione è iniettiva, la si può chiamare iniezione.

L'iniettività di una funzione è importante. Se voglio che una funzione sia iniettiva, non deve capitare che due elementi di A finiscano nello stesso elemento di B; per dimostrare che una funzione è iniettiva si procede per assurdo, ipotizzando che non lo sia e che esistano

$x_1\ne x_2|f(x_1)=f(x_2)=y$

Si otterrà che

$f(x_1)=f_{(}{x}_2)\iff x_1=x_2$

Per esempio, in $\mathbb{N}$ i numeri pari sono una parte propria; siccome vale la funzione biunivoca $f(x)=2x$ allora $\mathbb{N}$ è infinito.

Nell'esempio delle rette, sia $[r_1]$ l'insieme di tutte le rette parallele a $r_1$. L'insieme

$R=\{[r_1],[r_2],\cdots \}$

è una partizione di $A$.

Classi di resti

Abbiamo trovato una partizione di $\mathbb{Z}$.

Casi particolari:

1. per $m=0$ gli elementi sono in relazione solo quando sono uguali, quindi ogni blocco della partizione è costituito da un solo elemento; si tratta di una partizione banale che coincide con $\mathbb{Z}$ stesso.
2. per $m=1$ si ha un unico blocco;
3. la congruenza $mod(m)$ coincide con la congruenza $mod(-m)$

$x{\equiv }_{m}y\Rightarrow \{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }q|(x-y)=qm\\ \mathrm{\exists }-q|(y-x)=-qm\end{array}$

Quindi, se abbiamo due valori $x$ e $y$ che, divisi per $m$, danno lo stesso resto, allora questi sono congrui $mod(m)$, $x{\equiv }_{m}y$.

Relazioni modulo $m$

Il risultato della somma $a+c$ non dipende dal rappresentante che scelgo nella classe.

Definisco le classi di equivalenza $mod(m)$ con

${\mathbb{Z}}_m=\frac{\mathbb{Z}}{{\equiv }_m}$

Questi sono gli elementi che si generano quando definisco la congruenza $mod(m)$.