Integrale generalizzato

Siano $a,b\in ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\},a<b$ e sia $f$ una funzione continua. Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su

1. $[a,b[$
2. $]a,b]$
3. $]a,b[$

se:

$f\in 𝒞([a,b[,ℝ)$

Esiste finito

$\underset{y\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{y}{\int }}f(x)dx$

$f\in 𝒞(]a,b],ℝ)$

Esiste finito

$\underset{y\to a^{+}}{\lim }\underset{y}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

$f\in 𝒞(]a,b[,ℝ)$

Per un $c\in ]a,b[$ $f$ è integrabile in senso generalizzato su $]a,c]$ e su$[c,b[$. In tal caso

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Tenete ben presente che la scelta di $c$ non è affatto determinante. Template:Todo

In tutti questi casi, il limite finito (cioè l'integrale generalizzato) è per definizione uguale all'integrale $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ e si dice convergente.