Introduzione ai circuiti risonanti

Area d'applicazione

I circuiti risonanti, detti anche circuiti accordati o selettivi, sono strutture fondamentali per la progettazione dell’elettronica analogica; con essi si realizzano oscillatori, filtri di banda, circuiti di reiezione, sistemi di accordo per trasduttori, ecc.

Configurazion dei circuiti risonanti

La configurazione di un circuito risonante si avvale dei componenti elementari quali un’induttanza ed un condensatore collegati tra loro, o in serie o in parallelo, così come è mostrato in figura 1.

figura 1

Nella figura sono rappresentate le due configurazioni circuitali nell’ipotesi che entrambi i componenti che le costituiscono siano privi di perdite.

La caratteristica dei circuiti risonanti è data dalla “ frequenza di risonanza”, frequenza per la quale il circuito risonante parallelo presenta impedenza elevata mentre il circuito risonante serie presenta impedenza bassa.

Alla frequenza di risonanza, e in assenza di perdite, i valori numerici di $Xc$ e di $Xl$ coincidono, sia per il circuito parallelo che per il circuito serie, da ciò si ricava la formula generale che consente il calcolo di tale frequenza:

$Fr=1/[(2\cdot \pi )\cdot \sqrt{L\cdot C}]$

dove

$Fr$ è la frequenza è espressa in Hertz

$C$ la capacità è espressa in Farad

$L$ l’induttanza in Henry

Un rapido calcolo consentirà di comprendere come impiegare la formula:

Supponiamo di dover calcolare la frequenza di risonanza di un circuito formato dal parallelo di un condensatore da $0.1\mu F$ ed un’induttanza da $30mH$; applicando la formula si ha:

$Fr=1/[(2\cdot \pi )\cdot \sqrt{0.03H\cdot 0.1\cdot 10^{-6}F}]=2907.23Hz$

Sviluppando la formula in $L$od in $C$ si ottengono due espressioni utili per calcolare, una volta stabilita la frequenza $Fr$ voluta, quale valori di $C$ di $L$ utilizzare per realizzare il circuito risonante interessato; le due formule sono le seguenti:

$L=1/[(2\cdot \pi \cdot Fr{)}^2\cdot C]$

$C=1/[(2\cdot \pi \cdot Fr{)}^2\cdot L]$

Le formule ora indicate sono utili per il calcolo di un componente nel caso in cui, impostata la frequenza di risonanza desiderata, si abbia a disposizione l’altro componente; vediamo due esempi:

Si voglia realizzare un circuito risonante alla frequenza di $12000Hz$ avendo a disposizione un condensatore da $10000pF$ ; si applica la prima formula e si ottiene:

$L=1/[(2\cdot 3.14\cdot 12000{)}^2\cdot 0.01\cdot 10^{-6}F]=17.6/mH$

Si voglia realizzare un circuito risonante alla frequenza di $32000Hz$ avendo a disposizione un’induttanza da $3mH;$ si applica la seconda formula e si ottiene:

$C=1/[(2\cdot 3.14\cdot 32000{)}^2\cdot 0.003H]=8253pF$

È indispensabile a questo punto ricordare che abbiamo iniziato l’esame dei circuiti risonanti partendo da configurazioni circuitali prive di perdite allo scopo di non mettere troppe variabili in gioco; è giunto ora il momento di rivedere i circuiti di figura 1 e di completarli con i simboli circuitali relativi alle perdite dei componenti (figura 2) .

figura 2

Nella figura con i simboli $Rp;Rs$ sono indicate le perdite complessive del condensatore e dell’induttanza, queste resistenze ideali caratterizzano il coefficiente di merito del circuito risonante che, similmente a quello dei singoli componenti, è indicato con il simbolo $Q.$,.

L’introduzione di questa nuova variabile è alla base di tutte le computazioni relative all’impiego pratico dei circuiti risonanti; è necessario pertanto esplicitarla con l’ausilio di una formula di calcolo.

Il coefficiente di merito per un circuito risonante parallelo si esprime come:

$Q=Rp/Xl$

oppure come:

$Q=Rp/Xc$

Il coefficiente di merito per un circuito risonante serie si esprime come segue:

$Q=Xl/Rs$

oppure:

$Q=Xc/Rs$

Vediamo ora di applicare le formule per il calcolo del $Q$ dei due circuiti risonanti di cui si sono calcolati i componenti all’inizio.

Per il primo caso, in cui abbiamo calcolato l’induttanza, i valori che definiscono il circuito risonante sono:

$L=17.6mH$

$F=12000Hz$ $C=10000pF$

supponiamo che tale circuito sia di tipo parallelo con una resistenza di perdita complessiva pari a

$Rp=300000Ohm$

calcolando la reattanza $Xl$ risulta

$Xl=6.28\cdot 12000Hz\cdot 17.6mH=1326.3Ohm$

ed infine il valore del coefficiente di merito

$Q=300000Ohm/1326.3Ohm\approx 226$

Il valore del $Q$ che abbiamo ottenuto è da ritenersi buono per la maggior parte delle applicazioni pratiche in bassa frequenza; valori superiori sono realizzabili.

Per il secondo caso, in cui abbiamo calcolato la capacità, i valori che definiscono il circuito risonante sono:

$L=3mH$

$F=32000Hz$

$C=8253pF$

Supponiamo che tale circuito sia di tipo serie con una resistenza di perdita complessiva pari a

$Rs=55Ohm$

calcolando la reattanza Xl risulta

$Xl=6.28\cdot 32000Hz\cdot 3mH=602.8Ohm$

ed infine il valore del coefficiente di merito

$Q=602.8Ohm/55Ohm\approx 11$

Il valore del $Q$ che abbiamo ottenuto è da ritenersi poco buono per la maggior parte delle applicazioni pratiche; valori superiori sono realizzabili.

Gli esercizi che abbiamo ora sviluppato erano strutturati ad arte per mostrare come applicare le formule di calcolo ed ottenere, in un caso un $Q$ elevato, e nell’altro un $Q$ basso; nell’ impiego pratico il valore del $Q$ dipenderà, o dalle condizioni fisiche dei componenti, o dalle condizioni imposte dal progettista per ottenere risultati particolari. Nelle lezioni successive esamineremo questa importante problematica.