L'Uso della Calcolatrice e le Operazioni con i Gradi Sessagesimali (superiori)

Usare la calcolatrice

Sul mercato ci sono vari tipi di calcolatrice scientifica, ciascuno dovrà familiarizzare con la propria calcolatrice per imparare ad impostare correttamente il calcolo da effettuare e i tasti da pigiare per ottenere il corretto risultato. Se non si digita in modo consapevole e se non si sanno leggere i risultati, la calcolatrice è uno strumento inutilizzabile e talvolta può anche essere dannoso.

Nel seguito faremo riferimento alla calcolatrice kcalc, in dotazione all’ambiente di desktop KDE (GNU Linux), cercando di dare riferimenti che si adattino a tutte le calcolatrici.

La calcolatrice di KDE

Passo I: scelta dell’unità di misura  Sicuramente conosci già, come unità di misura degli angoli, il grado sessagesimale (indicato con il simbolo $\text{°}$). Esistono però altre unità di misura utilizzate in contesti diversi: i gradi centesimali (chiamati anche gradienti), utilizzati principalmente in topografia, e i radianti, utilizzati in matematica, specialmente in analisi. Su tutte le calcolatrici scientifiche è possibile effettuare le operazioni sugli angoli scegliendo l’opportuna unità di misura:

Angolo	Sigla	Sigla abbreviata
gradi sessagesimali	DEG	$\text{°}$
gradi centesimali	GRAD	G
radianti	RAD

Impostiamo la calcolatrice in modo da ricevere in ingresso angoli misurati in gradi sessagesimali (con kcalc dobbiamo impostare il selettore in alto a sinistra sulla pulsantiera sul simbolo $\text{°}$, altre calcolatrici hanno un pulsante che permette di passare da una impostazione all’altra, in sequenza).

Passo II: calcolo del coseno di un angolo  Ci proponiamo di determinare $\cos (60\text{°})$.

Controllate di aver impostato l’input dell’angolo in gradi sessagesimali, quindi digitate $60$ e premete il tasto cos. La calcolatrice restituisce $0.5$. Dunque $\cos (60\text{°})=0,5$.

Attenzione: per i numeri decimali sulla calcolatrice useremo il “punto decimale” in sostituzione della virgola.

OSSERVAZIONE.

1. La funzione coseno calcolata su angoli compresi fra $0\text{°}$ e $90\text{°}$ restituisce sempre numeri compresi fra $0$ e $1$.
2. Il coseno vale $1$ (il massimo) quando l’angolo di input è $0\text{°}$ e decresce fino a $0$ man mano che l’angolo immesso cresce fino a $90\text{°}$. Detto in altre parole: il coseno di un angolo che cresce da $0\text{°}$ a $90\text{°}$ diminuisce dal valore $1$ al valore $0$.
3. La decrescita del coseno non è proporzionale all’aumento dell’angolo, tant’è vero che si ha: $\cos (30\text{°})=0,867$ ma $\cos (60\text{°})=0,5$ che non è la metà di $\cos (30\text{°})$.}}

PROBLEMA 1.

Proiezione su una retta

Il segmento $AB$ della figura misura $5\text{m}$ e la sua proiezione $AH$ sulla retta $r$ misura $3\text{m}$. Possiamo determinare la misura dell’angolo $\alpha$ compreso tra $r$ e il segmento $AB$?

Dati: $\overline{AB}=5\text{m}$;$\overline{AH}=3\text{m}.$ Obiettivo: $\alpha .$

Soluzione Partiamo dalla formula $\overline{AH}=\overline{AB}\cdot \cos (\alpha )$, da essa possiamo ottenere $\cos (\alpha )=\frac{\overline{AH}}{\overline{AB}}$. Sostituendo i valori noti otteniamo $\cos (\alpha )=\frac{\overline{AH}}{\overline{AB}}=\frac{3}{5}=0,6$.

Per risalire dal valore del coseno al valore dell’angolo usiamo la calcolatrice attivando la funzione inversa di coseno; su molte calcolatrici tale funzione è indicata con ${\cos }^{-1}$, funzione che si attiva premendo il tasto Shift; in kcalc premendo il tasto Shift il tasto $cos$ cambia funzionalità e assumendo quella della sua funzione inversa con la scritta arccos.

Calcoliamo la misura dell’angolo il cui coseno è $0,6$ immettendo tale valore nella calcolatrice e attivando i tasti Shift e arccos. La calcolatrice restituisce $53.13010235$. Questo risultato ci dice che l’angolo è di $53\text{°}$ più una parte decimale $0,13010235$. Ricordiamo che i sottomultipli del grado vengono espressi in sessantesimi ($1\text{°}=60^{\prime }$ cioè 60 primi), a loro volta suddivisi in sessantesimi ($1^{\prime }=60^{″}$ cioè 60 secondi). Dunque la parte decimale estratta dalla calcolatrice va adeguatamente modificata: al risultato della calcolatrice togliamo la parte intera $(53)$ e moltiplichiamo per $60$ ottenendo $7,806141$ la cui parte intera (7) rappresenta i primi; togliamo nuovamente la parte intera (7) e moltiplichiamo per $60$ ottenendo i secondi $48,36846$ Arrotondiamo la parte intera e possiamo concludere $\alpha \simeq 53\text{°}{7}^{\prime }48^{″}$. Alcune calcolatrici scientifiche fanno in automatico questi calcoli attivando un tasto opportuno.

Osserviamo che viene utilizzato il simbolo $\simeq$ (circa uguale) per indicare che abbiamo usato valori approssimati. Ora sei in grado di determinare l’ampiezza degli angoli acuti attivando le funzioni inverse sulla tua calcolatrice.

Operazioni con i gradi sessagesimali

Accenniamo alle addizioni e sottrazioni tra angoli.

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ESEMPIO 1. Svolgiamo l’operazione $48\text{°}45^{\prime }52^{″}+62\text{°}27^{\prime }22^{″}$.

Somma di gradi sessagesimali

Sommando termine a termine otteniamo $110\text{°}72^{\prime }74^{″}$. Tenendo conto che 1 grado equivale a 60 primi e 1 primo equivale a 60 secondi, si ha che i $74\text{°}$ valgono $1^{\prime }$ e $14^{″}$, i $72^{\prime }74^{″}$ diventano allora $73^{\prime }$ e $14^{″}$. Trasformiamo poi i $73^{\prime }$ in $1\text{°}$ e $13^{\prime }$.

In definitiva si ha che $110\text{°}72^{\prime }74^{″}=111\text{°}13^{\prime }14^{″}$.

ESEMPIO 2. Svolgiamo ora una sottrazione: $90\text{°}-45\text{°}33^{\prime }12^{″}$.

Sottrazione di gradi sessagesimali

Questa è una operazione molto comune, poiché capita abbastanza spesso di dover calcolare l’angolo complementare. Per svolgere la sottrazione conviene scrivere $90\text{°}$ come $89\text{°}59^{\prime }60^{″}$ e svolgere la sottrazione avendo come risultato $44\text{°}26^{\prime }48^{″}$.

ESEMPIO 3. Un’ultima sottrazione: $72\text{°}20^{\prime }40^{″}-23\text{°}40^{\prime }52^{″}$.

Per fare questa sottrazione parto dai secondi e non potendo fare $40-52$, utilizzo il riporto trasformando $72\text{°}20^{\prime }40^{″}$ in $72\text{°}19^{\prime }100^{″}$. Ora posso eseguire agevolmente la sottrazione e ottengo $100-52=48$; sottraggo poi i primi tra loro, aggiungendo il riporto ai $19^{\prime }$ ($72\text{°}19^{\prime }\to 71\text{°}79^{\prime }$) e ottengo $79-40=39$; sottraggo poi i gradi: $71-23=48$. Il risultato finale è quindi $48\text{°}39^{\prime }48^{″}$.

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