La Risoluzione di un Triangolo Qualsiasi con Triangoli Rettangoli (superiori)

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Per risolvere i triangoli qualsiasi, tramite l’altezza, bisogna ricercare all’interno della figura considerata dei triangoli rettangoli. Nel seguito saranno indicati altri teoremi che permettono di risolvere tutti i tipi di triangoli.

ESERCIZIO 1. Risolvi il triangolo acutangolo della figura con $α = 39 °$ , $β = 57 °$ e $\overline{C H} = 11 m$ .

Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo è $180 °$ ricaviamo $γ$ :

$γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° - 57 ° = 84 ° .$

Individuiamo ora i triangoli rettangoli nella figura in modo da poter applicare le formule.

Con il triangolo rettangolo $C H B$ :

$\begin{matrix} \sin (β) = \frac{\overline{C H}}{\overline{C B}} \Rightarrow \overline{C B} = \frac{\overline{C H}}{\sin (β)} = \frac{11}{\sin (57 °)} ≃ [m] 13, 2; \\ \tan (β) = \frac{\overline{C H}}{\overline{B H}} \Rightarrow \overline{B H} = \frac{\overline{C H}}{\tan (β)} = \frac{11}{\tan (57 °)} ≃ [m] 7, 15 . \end{matrix}$

Con il triangolo rettangolo $A H C$ :

$\begin{matrix} \sin (α) = \frac{\overline{C H}}{\overline{A C}} \Rightarrow \overline{A C} = \frac{\overline{C H}}{\sin (α)} = \frac{11}{\sin (39 °)} ≃ [m] 17, 46; \\ \tan (α) = \frac{\overline{C H}}{\overline{A H}} \Rightarrow \overline{A H} = \frac{\overline{C H}}{\tan (β)} = \frac{11}{\tan (39 °)} ≃ [m] 13, 75 . \end{matrix}$

Infine calcoliamo $\overline{A B} = \overline{A H} + \overline{B H} ≃ 7, 15 + 13, 75 = 20, 9 m$ .

Quadrilateri

ESEMPIO 2. Nel trapezio rettangolo $A B C D$ della figura il lato obliquo $B C$ forma un angolo di $35 °$ con la base maggiore $A B$ , inoltre la diagonale $A C$ è perpendicolare a $B C$ . Calcola il perimetro e l’area del trapezio sapendo che la sua altezza è $10 cm$ .

Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo è $180 °$ ricaviamo $\hat{C A B} = 55 °$ . Siccome il trapezio è rettangolo $\hat{D A C} = \hat{D A B} - \hat{C A B} = 90 ° - 55 °$ . Calcoliamo ora $C B$ , $A B$ e $D C$ :

$\begin{matrix} \sin (\hat{A B C}) = \frac{\overline{A D}}{\overline{C B}} \Rightarrow \overline{C B} = \frac{\overline{A D}}{\sin (\hat{A B C})} = \frac{10}{\sin (35 °)} ≃ [c m] 17, 43; \\ \overline{A B} = \frac{\overline{C B}}{\cos (\hat{A B C})} ≃ \frac{17, 43}{\cos (55 °)} ≃ [c m] 21, 28; \\ \frac{\overline{D C}}{\overline{A D}} = \tan (\hat{D A C}) \Rightarrow \overline{D C} = \overline{A D} \cdot \tan (\hat{D A C}) = 10 \tan (35 °) ≃ 7, 00 . \end{matrix}$

Da cui:

$\begin{matrix} 2 p = \overline{A B} + \overline{B C} + \overline{D C} + \overline{D A} ≃ 21, 28 + 17, 43 + 7, 00 + 10 = [c m] 55, 71; \\ Area = \frac{(\overline{A B} + \overline{D C}) \cdot \overline{A D}}{2} ≃ \frac{(21, 28 + 7, 00) \cdot 10}{2} ≃ [c m^{2}] 141, 40 . \end{matrix}$

Applicazioni alla topografia

La topografia è una disciplina che studia gli strumenti ed i metodi operativi, sia di calcolo che di disegno, necessari per ottenere una rappresentazione grafica di una parte della superficie terrestre. La topografia ha carattere applicativo e trae la sua base teorica dalla matematica, dalla geometria e dalla trigonometria.

ESEMPIO 3. Risolvere il quadrilatero della figura [fig:C.7] sapendo che $A B = 42, 5 m$ , $B C = 32, 18 m$ , $C D = 27, 6 m$ , $\hat{B A D} = 56 °$ , $\hat{A D C} = 62 °$ .

Dati: $\overline{A B} = 42, 5 m$ , $\overline{B C} = 32, 18 m$ , $\overline{C D} = 27, 6 m$ , $\hat{B A D} = 56 °$ , $\hat{A D C} = 62 °$ .

Obiettivo: $\overline{A D}$ , $\hat{A B C}$ , $\hat{C D A}$ .

Procedura risolutiva: Suddividiamo il quadrilatero in tre triangoli rettangoli e in un rettangolo, come nella figura, e risolviamo i triangoli.

Triangolo $F B A$ retto in $F$ :

$\begin{matrix} \hat{F B A} = 90 ° - \hat{B A D} = 90 ° - 56 ° = 34 °; \\ \overline{A F} = \overline{A B} \cos (\hat{B A D}) = 42, 5 \cos (56 °) ≃ 23, 77 m; \\ \overline{B F} = \overline{A B} \sin (\hat{B A D}) = 42, 5 \sin (56 °) ≃ 35, 23 m . \end{matrix}$

Triangolo $D C E$ retto in $E$ :

$\begin{matrix} \hat{D C E} = 90 ° - \hat{A D C} = 90 ° - 62 ° = 28 °; \\ \overline{D E} = \overline{C D} \cos (\hat{F B A}) = 27, 6 \cos (62 °) ≃ 12, 96 m; \\ \overline{C E} = \overline{C D} \sin (\hat{A D C}) = 27, 6 \sin (62 °) ≃ 24, 37 m . \end{matrix}$

Triangolo $G B C$ retto in $G$ :

$\begin{matrix} \overline{B G} = \overline{B F} - \overline{G F} = \overline{B F} - \overline{C E} ≃ 35, 23 - 24, 37 ≃ 10, 86 m; \\ \cos (\hat{C B G}) = \frac{\overline{B G}}{\overline{B C}} ≃ \frac{10, 86}{32, 18} ≃ 0, 34 \Rightarrow \hat{C B G} = \cos^{-} 1 (0, 34) ≃ 70 ° 1 6^{'} 3 6^{″}; \\ \hat{B C G} = 90 ° - \hat{C B G} ≃ 90 ° - 70 ° 1 6^{'} 3 6^{″} ≃ 19 ° 4 3^{'} 2 4^{″}; \\ \overline{G C} = \overline{B C} \sin (\hat{C B G}) ≃ \overline{B C} \sin (70 ° 1 6^{'} 3 6^{″}) ≃ 30, 29 m . \end{matrix}$

Calcoliamo ora gli elementi incogniti del quadrilatero:

$\begin{matrix} \overline{D A} = \overline{A F} + \overline{F E} + \overline{E D} ≃ 23, 77 + 30, 29 + 12, 96 = 67, 02 m; \\ \hat{A B C} = \hat{A B F} + \hat{F B C} ≃ 34 ° + 70 ° 1 6^{'} 3 6^{″} = 104 ° 1 6^{'} 3 6^{″}; \\ \hat{B C D} = \hat{B C G} + \hat{G C E} + \hat{E C D} ≃ 19 ° 4 3^{'} 2 4^{″} + 90 ° + 34 ° = 143 ° 4 3^{'} 2 4^{″} . \end{matrix}$

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