Limiti

Richiami agli insiemi di numeri reali

Dato che esiste per ogni punto della retta orientata $r$ (detta retta reale) un elemento dell'insieme $ℝ$, possiamo identificare ogni sottoinsieme di $ℝ$, cioè un insieme numerico di punti della retta $r$.

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

Intervalli limitati

Un intervallo può essere chiuso o aperto. Possono differire a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Un intervallo chiuso nella retta dei numeri reali (Fig. 1).)

• L'intervallo chiuso contiene tutti i valori inclusi tra a e b. (Fig. 1)

Un intervallo aperto nella retta dei numeri reali (Fig. 2).

• L'intervallo aperto contiene tutti i valori tra a e b esclusi. (Fig. 2)

Un intervallo aperto a sinistra nella retta dei numeri reali (fig. 3).

Un intervallo aperto a destra nella retta dei numeri reali (fig. 4).

• L'intervallo aperto a sinistra contiene tutti i valori tra a e b con a escluso. (Fig. 3)
• L'intervallo aperto a destra contiene tutti i valori tra a e b con b escluso. (Fig. 4)

Gli intervalli limitati sono segmenti della retta reale con estremi a e b, con a < b e lunghezza b - a, chiamata ampiezza dell'intervallo.

I valori $\frac{b-a}{2}$ e $\frac{b+a}{2}$ sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.

Intervalli illimitati

Un intervallo illimitato corrisponde a una semirettta di origine a; pertanto uno degli estremi dell'intervallo è il numero a, mentre l'altro è $\pm \mathrm{\infty }$ (più o meno infinito). Essi non sono numeri reali, quindi sono sempre esclusi dall'intervallo.

L'insieme dei numeri reali è definito dall'intervallo $]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$.

• L'intervallo aperto illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori di a. (Fig. 5)
• L'intervallo chiuso illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori o uguali ad a. (Fig. 6)
• L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori di a. (Fig. 7)
• L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori od uguali ad a. (Fig. 8)

Un intervallo aperto illimitato a sinistra. (Fig. 5)

Un intervallo chiuso illimitato a sinistra. (Fig. 6)

Intervallo aperto illimitato a destra. (Fig. 7)

Intervallo chiuso illimitato a destra. (Fig. 8)

Intorni di un punto

Quando ${\delta }_1={\delta }_2$, si parla di intorno completo circolare di $x_0$. In particolare, $I^{-}(x_0)=]x_0-\delta [$ è l'intorno sinistro, mentre $I^{+}(x_0)=]x_0+\delta [$ è l'intorno destro di $x_0$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$

Consideriamo la funzione $y=f(x)$, definita nell'insieme D, e studiamo il suo comportamento quando $x$ assume valori prossimi a $x_0$, ma non proprio quest'ultimo perché è fuori dall'insieme D.

In base al grafico, possiamo dire che più ci avviciniamo a $x_0$, più $f(x)$ si avvicina ad L.

Consideriamo, per esempio, la funzione $y=f(x)=\frac{2x^2-6x}{x-3}$, cui dominio è $D=ℝ-$ 3

Non avrebbe senso calcolare $f(3)$, perché la funzione non è definita in quel punto. Nonostante ciò, possiamo sempre studiare il comportamento della funzione vicino al punto $x_0$.

Notiamo che la funzione più si avvicina ad $x_0$, più si avvicina al valore $L$.

Definizione con gli intorni circolari

Esprimiamo lo stesso concetto in un altro modo: considerato un qualunque intorno circolare di ampiezza $ϵ$, che indicheremo con $I_{ϵ}$, esiste sempre un intorno i cui punti x, con $x\ne 3$ , hanno immagine $f(x)$ contenuta in $I_{ϵ}$.

Nei punti di quell'intorno infatti ci sono quei valori di x che soddisfano la disequazione: $|f(x)-6|<ϵ$ → $\mid \frac{2x^2-6x}{x-5}-6\mid <ϵ$

Raccogliamo 2x nel numeratore della frazione, ed essendo $x\ne 3$, semplifichiamo:

$\mid \frac{2x(x-3)}{x-3}-6\mid <ϵ\to |2x-6\mid <ϵ\to 2\cdot |x-3|<ϵ\to |x-3|<\frac{ϵ}{2}$

Notiamo il caso particolare del valore assoluto, quindi:

$3-\frac{ϵ}{2}<x<3+\frac{ϵ}{2}$

Le soluzioni della disequazione sono i punti dell'intorno

$I(3)=]3-\frac{ϵ}{2};3+\frac{ϵ}{2}[$

Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico di $y=\frac{2x^2-6x}{x-3}$, che è uguale a quella $y=2x$ per $x\ne 3$, e consideriamo degli intorni di 3 assegnando ad $ϵ$ alcuni valori sempre più piccoli.

Possiamo notare che i valori di $f(x)$ si trovano sempre più vicini a 6.

Possiamo dunque dire che "per x che tende a 3, $f(x)$ ha limite 6" e scriviamo:

$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=6$

Limite destro e sinistro

Limite destro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=L$

Si legge "limite di x che tende a $x_0^{+}$ da destra". Significa che x si avvicina a $x_0$ ma rimanendo sempre maggiore di $x_0$

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<ϵ$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno destro di $x_0$, ossia a un intorno del tipo $]x_0;x_0+\delta [$, che indichiamo con $I^{+}(x_0)$

Limite sinistro

Analogamente, il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=L$

Si legge "limite di x che tende a $x_0^{-}$ da sinistra". Significa che x si avvicina a $x_0$ ma rimanendo sempre minore di $x_0$

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza $|f(x)-l|<ϵ$ deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno sinistro di $x_0$, ossia a un intorno del tipo $]x_0-\delta ;x_0[$, che indichiamo con $I^{-}(x_0)$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$

Se per certi valori di x che si avvicinano ad un certo $x_0$, i valori di una funzione cresce sempre di più, si dice che la funzione ha limite $+\mathrm{\infty }$.

Definizione

Se $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$, si dice che la funzione $f$ diverge positivamente.

Interpretazione geometrica

Osserviamo il seguente grafico generico di $y=f(x)$ e consideriamo degli intorni di $x_0$ sempre più piccoli, assegnando ad $M$ valori sempre più grandi.

Possiamo notare che i valori di $f(x)$ sono sempre più grandi, fino a raggiungere $+\mathrm{\infty }$. Possiamo dunque dire che "per x che tende a $x_0$, $f(x)$ ha limite $+\mathrm{\infty }$" e scriviamo:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

Esistono anche funzioni che decrescono sempre di più all'avvicinarsi di x al punto $x_0$. In questo caso si dice che la funzione ha limite $-\mathrm{\infty }$. per x che tende a $x_0$. In generale vale la seguente definizione:

Se $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$, si dice che la funzione $f$ diverge negativamente.