Metodo di Newton

Metodo di Newton

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Template:Risorsa Con il metodo di Newton si costruisce la successione degli $x_k$ per trovare la radice $\alpha$ di una funzione $f$ partendo da una stima iniziale $x_0$. La stima iniziale $x_0$ si suppone essere vicino alla radice $\alpha$. Si costruisce, quindi, la tangente di $f$ in $x_0$ e si fa una prima approssimazione di $\alpha$ calcolando la radice della tangente. Ripetendo questo processo si ottiene la successione degli $x_k$.

Derivazione del metodo di Newton

Approssimiamo $f(x)$ con uno sviluppo di Taylor intorno a $x_k$ fermandoci al secondo ordine

$f(x)=f(x_k)+f^{\prime }(x_k)(x-x_k)+\frac{f^{″}({\eta }_k)}{2}(x-x_k{)}^2,$

con ${\eta }_k$ preso tra $x$ e $x_k$. Imponendo $x=\alpha$ e ricordando che $f(\alpha )=0$ si ottiene

$\alpha =x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}-\frac{(\alpha -x_k{)}^2}{2}\frac{f^{″}({\eta }_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$

Tralasciando l'ultimo termine, si ottiene un'approssimazione di $\alpha$ che chiamiamo $x_{k+1}$ ottenendo così il

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$

Analisi di convergenza

Risulta chiaro dalla derivazione del metodo che l'errore commesso dal metodo di Newton è dato da

$\alpha -x_{k+1}=-\frac{f^{″}({\eta }_k)}{2f^{\prime }(x_k)}(\alpha -x_k{)}^2.$

Da questo si nota che se il metodo converge, l'ordine di convergenza è pari a 2. La convergenza del metodo di Newton dipende però dalla scelta della stima iniziale $x_0$.

Vale il seguente

Si assuma che $f(x),f^{\prime }(x),$ e $f^{″}(x)$ siano continue in un intorno della radice $\alpha$ e che $f^{\prime }(\alpha )\ne 0$. Allora preso $x_0$ sufficientemente vicino a $\alpha$, allora la successione $x_k$, con $k\ge 0$, definita dal metodo di Newton converge ad $\alpha$. Inoltre si ha ordine di convergenza $p=2$ essendo

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\alpha -x_{k+1}}{(\alpha -x_k{)}^2}=-\frac{f^{″}(\alpha )}{2f^{\prime }(\alpha )}.$