Polinomi di Taylor

Derivate di ordine superiore

Sia $A\subseteq ℝ,A\subseteq D(A)$ e sia $f:A\to ℝ$ derivabile in ogni punto di $A$. Se $x_0\in A$ si dice che $f$ ha derivata seconda in $x_0$ se esiste

$(f^{\prime }{)}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}$.

Se esiste tale limite si denota con le seguenti notazioni:

$\begin{array}{cccc}{f}^{″}(x_0)& D^{2}f(x_0)& f^{(2)}(x_0)& {\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}}_{x=x_0}\end{array}$

In modo analogo si definiscono le derivate di ordine $n$: $f$ è derivabile $n+1$ volte in $x_0$ se $f$ è derivabile $n$ volte in ogni punto di $A$ e se esiste il limite sopra (con le opportune modifiche di ordine).

Indichiamo inoltre con

$C^n(A,ℝ)$

l'insieme delle funzioni $n$ volte derivabili in ogni punto di $A$ e con $f^{(0)}(x)$ la semplice funzione $f$ derivata 0 volte.