Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

Intervalli e intorni

Sia $x_0\in ℝ$ e $\epsilon >0$, si dice intorno di $x_0$ di raggio $\epsilon$ l'intervallo

$]x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon [$

Rappresentiamo poi l'insieme degli intorni di $x_0$ con

${ℐ}_{x_0}=\{]x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon [:\epsilon \in ℝ,\epsilon >0\}$

Punti di accumulazione

Sia $A\subseteq ℝ$, un punto $x_0$ si dice punto di accumulazione di $A$ se per ogni intorno di $x_0$ esistono punti di $A$ diversi da $x_0$ stesso.

Formalmente:

$x_0$ punto di accumulazione di $A\iff (A\setminus \{x_0\})\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di $A$ si indica con $D(A)$ e si chiama derivato di $A$.

Se un punto appartiene ad $A$ ma non al suo derivato, tale punto si dice punto isolato di $A$.

Proposizione

Dimostrazione

Supponiamo $A\ne \mathrm{\varnothing }$ (altrimenti l'affermazione è banale) e $A=\{x_1,\dots ,x_n\}$. Prendiamo poi un qualsiasi numero reale $y$ e poniamo

$\varphi =\min \{|y-x_i|,i\in 1,\dots ,n,x_i\ne y\}$

$\varphi$ in altri termini, è il raggio più piccolo dell'intervallo che possiamo avere in $A$ per ogni numero reale che scegliamo. Si ha

$x_i\ne y$, $\varphi >0,\mathrm{\forall }y\in ℝ,\mathrm{\forall }{x}_i\in A$.

Supponiamo, per assurdo, che

$D(A)\ne \mathrm{\varnothing }$

. Allora, esiste

$x\in (A\setminus \{y\})\cap ]y-\varphi ,y+\varphi [$

e dunque

$x=x_i$

(per un opportuno

$i\in \{1,\dots ,n\}$

,

$x\ne y$

e

$|x-y|<\varphi$

(per la definizione di punto di accumulazione). Ma questo contraddice la definizione che abbiamo dato di

$\varphi$

(infatti

$\varphi$

è già il raggio minimo di un intervallo ottenibile in

$A$

con il numero reale

$y$

) e prova l'asserto.

$◻$

Lemma

Dimostrazione del Lemma

$\Rightarrow )$ $x_0\in D(A)$ implica ovviamente che $D(A)\ne \mathrm{\varnothing }\iff (A\setminus \{x_0\})\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$.

Allora questo varrà anche per l'intervallo di raggio $\frac{1}{n}$ , cioè

$(A\setminus \{x_0\})\cap ]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Per l'assioma della scelta, esiste una funzione che ad ogni naturale associa un elemento di $(A\setminus \{x_0\})\cap ]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[$. Tale funzione è allora una successione ed è convergente in $x_0$. Infatti $x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}$ sono successioni convergenti a $x_0$ e

$x_0-\frac{1}{n}<x_0<x_0+\frac{1}{n}$.

Dunque, per il teorema del confronto, la successione converge a $x_0$.

$\Leftarrow )$ (completare la dimostrazione)

Teorema (esistenza di punti di accumulazione per insiemi infiniti e limitati)

Dimostrazione

Cerchiamo di ricondurci al caso del lemma precedente.
La prima ipotesi ci dice che $A$ è infinito, dunque esiste una successione in $A$ di valori distinti, cioè $a_n\ne a_m,\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N},n\ne m$.
Inoltre, la seconda ipotesi ci dice che $A$ è limitato e dunque sarà limitata anche la nostra successione. Allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un qualche punto $x_0\in ℝ$.

Ora, se ogni termine della sottosuccessione è diverso da

$x_0$

, per il lemma precedente

$x_0$

è un punto di accumulazione di

$A$

in quanto esiste una successione in

$A\setminus \{x_0\}$

convergente a

$x_0$

. Se invece esiste un termine della sottosuccessione

$x_{k_r}=x_0,r\in \mathbb{N}$

, essendo

$x_{k_q}\ne x_{k_r},\mathrm{\forall }q,r\in \mathbb{N}$

(per definizione di sottosuccessione, la quale ha indici crescenti e dunque diversi tra loro), esiste però una successione

$(x_{k_{q+r}})$

i cui termini sono tutti diversi da

$x_0$

ed anch'essa però convergente ad

$x_0$

stesso (sempre per il teorema di Bolzano-Weierstrass). Dunque tale successione è in

$A\setminus \{x_0\}$

, convergente in

$x_0$

e dunque, per il lemma precedente,

$x_0\in D(A)$

e dunque

$D(A)\ne \mathrm{\varnothing }$

.

$◻$

Chiusura di un insieme ed insiemi chiusi

Un punto $x_0\in ℝ$ si dice è un punto aderente di un insieme $A\subseteq ℝ$ se

$A\cap I\ne \mathrm{\varnothing }$

qualsiasi sia l'intervallo di $x_0$.

L'insieme dei punti aderenti di $A$ si dice chiusura di $A$ e si denota con il simbolo

$\bar{A}$.

In termini intuitivi, un punto aderente è un punto reale "vicino quanto si voglia" ad un sottoinsieme $A$.

Proposizione

Dimostrazione

Notiamo innanzitutto che $\bar{A}\supseteq A$ in quanto ogni punto di $A$ è ovviamente punto aderente di $A$, ma ce ne potrebbero essere anche altri al di fuori di $A$, dunque $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\bar{A}\ge \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}A$.
Analogamente, anche $\bar{A}\supseteq D(A)$ perché facendo il confronto di definizioni abbiamo

$x_0\in D(A)⟺(A\setminus x_0)\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$

mentre

$x_0$ è un punto aderente di $A$ se e solo se $A\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$

Anche qui, la maggiore (o al più uguale) cardinalità della chiusura di $A$ rispetto ad $A$ stesso è evidente.

Ora, proviamo che $x_0\in A\cup D(A),\mathrm{\forall }{x}_0\in \bar{A}$. Se $x_0\in A$ (preventivamente abbiamo supposto che stia nella chiusura), allora

$A=\bar{A}=D(A)$

e non c'è nulla da provare.
Se invece $x_0\in ̸A$, se però stà nella chiusura di $A$ abbiamo (dalla definizione)

$A\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$

che è equivalente a dire

$(A\setminus \{x_0\})\cap I\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }I\in {ℐ}_{x_0}$

dal momento che $A$ non contiene $x_0$.
Dunque abbiamo che $D(A)=\bar{A}$, ma $D(A)\supset A$ in quanto contiene anche $x_0$

, dunque

$D(A)\cup A=D(A)=\bar{A}$

.

$◻$

---

Un insieme $A\subseteq ℝ$ si dice chiuso se uguale alla sua chiusura, cioè se $A=\bar{A}$.