Quadrilateri: soluzioni noti tre lati e due angoli compresi

Il quadrilatero e i suoi elementi

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Nella figura 1 è tracciato un quadrilatero distinto da cinque elementi: i lati: $a;b;c$ e gli angoli $\beta ;\gamma$ compresi rispettivamente tra i lati $a-b$ e $b-c$

figura 1

Gli elementi incogniti sono evidenziati in celeste.

La soluzione sarebbe possibile, con una certa complicazione, date le disponibilità dei calcolatori sui triangoli studiati nelle lezioni precedenti visto che il segmento $AC$ divide il quadrilatero in due triangoli qualsiasi sui quali ci sono ampie possibilità di sviluppo.

Per semplificare il lavoro in questa applicazione, invece, viene appositamente sviluppato un eseguibile di calcolo che, una volta inseriti i cinque elementi del quadrilatero lo risolve immediatamente senza l'impiego di calcolatori separati ed altro per i due triangoli.

L'eseguibile di calcolo

Come inserire i valori angolari

Dovendo inserire due serie di valori angolari espressi in gradi sessagesimali,( gradi; primi; secondi ) si deve seguire la procedura secondo la sequenza d'esempio:

si digita il numero dei gradi $078$

si digita un punto di separazione .

si digita il numero dei primi $28$

si digita un punto di separazione .

si digita il numero dei secondi $09$

in modo che la scritta nella finestra appaia come sotto:

$078.28.09$

Esempio di calcolo

Il computo dei valori angolari del poligono: $\alpha ;\lambda$ del lato $d$ e della superficie $S$ sono computati con l'eseguibile [file exe in zip ].

Nella figura 2 è riportata la schermata di lavoro del calcolatore dopo l'inserimento dei seguenti elementi del poligono:

$b=12.82$

$c=21.45$

$d=27.52$

$\beta =067^{\circ }28^{\prime }00^{″}$

$\gamma =062^{\circ }34^{\prime }00^{″}$

La soluzione del poligono, una volta premuto il pulsante calcolo è disponibile sulla destra del pannello di figura 2:

figura 2

Semplici processi di controllo del calcolatore

Con questi processi di controllo si garantisce che il software del calcolatore operi in modo corretto; vediamo come:

Sul quadrato

Se si assume ad esempio la seguente serie di elementi per il poligono:

$a=100$

$b=100$

$c=100$

$\beta =090^{\circ }00^{\prime }00^{″}$

$\gamma =090^{\circ }00^{\prime }00^{″}$

la sua soluzione è scontata:

il poligono è un quadrato, tutti e quattro gli angoli sono di $90^{\circ }$, la superficie è $S=10000$ e $BD=141.42$ così come mostrano i risultati del pannello di figura 3:

figura 3

Sul rettangolo

Un secondo controllo: se si assume ad esempio la seguente serie di elementi per il poligono:

$a=100$

$b=200$

$c=100$

$\beta =090^{\circ }00^{\prime }00^{″}$

$\gamma =090^{\circ }00^{\prime }00^{″}$

anche in questo caso la sua soluzione è immediata:

il poligono è un rettangolo di base $b=200$ , altezza = $a=100$ , con superficie $a\cdot b=20000$ e diagonale $AC=223.6$ come mostrano i risultati nel pannello di figura 4:

figura 4

Bibliografia

• T. Vardanega, Trigonometria piana, Soc. ed. Intern, Torino, 1946

• C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.