Rette nel piano

Equazione di una retta

L'equazione cartesiana di una retta è la ben nota $ax+by+c=0$, con $(a,b)\ne (0,0)$. Vediamo come si ottiene questa equazione per costruzione con i vettori.

Consideriamo il seguente grafico

Abbiamo che u = ai+bj (con a, b non nulli) e B-A è ortogonale a u. Quindi il prodotto scalare deve essere nullo, cioè

$(B-A)\cdot u=0\iff (x-x_0,y-y_0)\cdot (ai,bj)=0\iff ai(x-x_0)+bj(y-y_0)=0$

$\iff ax-a{x}_0+by-b{y}_0=0\iff ax+by+(-a{x}_0-b{y}_0)=0$

che è appunto l'equazione cartesiana che conosciamo bene, ponendo $c=(-a{x}_0-b{y}_0)$.

Parallelismo e coincidenza di due rette

Siano $\{\begin{array}{c}r:ax+by+c=0\\ s:a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$ due rette del piano e u, v i rispettivi vettori direttori.

Sappiamo che se r ed s sono ortogonali, anche u e v sono ortogonali tra loro. La stessa relazione che intercorre per l'ortognalità vale anche per il parallelismo delle rette. Quindi se due rette sono parallele, anche u e v sono paralleli, cioè $v=ku$, con $k\in ℝ$.

Dalla figura stessa è evidente come i vettori u e v ortogonali rispettivamente alle rette a e b siano proporzionali. Quello della figura è solo un esempio, u e v possono avere anche verso differente. La cosa che li accomuna è la direzione, e se $v=ku$ allora anche le rette r ed s sono proporzionali, cioè

$\{\begin{array}{c}a=k{a}^{\prime }\\ b=k{b}^{\prime }\end{array}$

Diciamo che due rette r ed s sono coincidenti se

$\mathrm{\exists }k\in ℝ\setminus \{0\}:\{\begin{array}{c}a=k{a}^{\prime }\\ b=k{b}^{\prime }\\ c=k{c}^{\prime }\end{array}$

cioè se sono parallele e sono proporzionali anche i termini noti.

Retta passante per due punti

Consideriamo $P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1)$ due punti del piano. Riconducendoci al precedente caso dell'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore $u=(a,b)$, possiamo ricavare l'equazione della retta passante per i due punti. Facciamo così:

• troviamo una retta parallela $r:P_1-P_0=(x_1-x_0,y_1-y_0)$
• ricaviamo un vettore ortogonale a u, che è $v=(-b,a)=(y_0-y_1,x_1-x_0)$
• ora prendiamo uno dei due punti che conosciamo, ad esempio $P_0$, e scriviamo l'equazione della retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore v.

Quindi,

$(P-P_0)\cdot v=0\iff (x-x_0,y-y_0)\cdot (y_0-y_1,x_1-x_0)=0\iff$

$(x-x_0)(y_0-y_1)+(y-y_0)(x_1-x_0)=0\iff (x_1-x_0)(y-y_0)=(y_1-y_0)(x-x_0)$

Ecco quindi ottenuta l'equazione di una retta passante per due punti.

Se $P_0\ne P_1\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_1-x_0\ne 0\\ y_1-y_0\ne 0\end{array}$ otteniamo l'equazione della retta passante per due punti forse già nota dalla scuola superiore, cioè

$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}$

Intersezione di due rette

Siano $\{\begin{array}{c}r:ax+by+c=0\\ s:a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$ due rette del piano e come al solito $a,b\ne 0$. Se esistono, i punti di intersezione $(x,y)$ sono dati dalle soluzioni del sistema omogeneo

$\{\begin{array}{c}ax+by+c=0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$

alle quali sono associate le matrici

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)$ e $A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a^{\prime }& b^{\prime }& c^{\prime }\end{array}\right)$

Per il Teorema di Rouché-Capelli, abbiamo che

1. se $\mathrm{r}\mathrm{g}A=1,\mathrm{r}\mathrm{g}{A}^{\prime }=2$ il sistema non ha soluzioni, quindi le rette sono distinte. Questo lo si può dedurre anche dal fatto che se $\mathrm{r}\mathrm{g}A=1\Rightarrow (a,b)=k(a^{\prime },b^{\prime })$, cioè le rette sono parallele ma $A^{\prime }$ non è singolare, per cui c non è proporzionale a c' e quindi le rette sono parallele e non coincidenti, perciò non si intersecano mai e questo può avvenire solo in questa condizione;
2. se $\mathrm{r}\mathrm{g}A=\mathrm{r}\mathrm{g}{A}^{\prime }=1\Rightarrow ax+by+c=0=k(a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime })$, quindi r ed s sono proporzionali e pertanto sono coincidenti e i punti di intersezione sono infiniti;
3. se $\mathrm{r}\mathrm{g}A=\mathrm{r}\mathrm{g}{A}^{\prime }=2$ le rette non sono parallele e per cui il sistema ha come unica soluzione il punto $P=(x,y)$ di intersezione fra le due rette.

Fascio di rette

Siano $\{\begin{array}{c}r:ax+by+c=0\\ s:a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$ due rette del piano incidenti in un punto $rs$. Tutte le combinazioni lineari di r ed s generano un fascio di rette passanti per rs, come nella figura seguente.

più esplicitamente,

$(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}:\lambda (ax+by+c)+\mu (a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime })=0$

rappresenta tutte le possibili rette passanti per il punto $rs$ intersezione di r ed s.

Equazioni parametriche della retta

Sia $r:ax+by+c=0$ una retta passante per $P_0=(x_0,y_0)$ e parallela ad un vettore $u=(l,m)$ come nella figura seguente.

È possibile descrivere completamente la retta r anche in forma parametrica, cioè mediante un sistema di questo tipo:

$\{\begin{array}{c}x=x_0+tl\\ y=y_0+tm\end{array},t\in ℝ$.

Infatti, notiamo per prima cosa che r è parallela ad u, quindi è parallela a tutti i vari $tu$, i multipli di u. Essa sarà perciò ortogonale anche a tutti i multipli del vettore $v=(-m,l)$ , cioè i vari $t(-m,l)$. Conoscendo un punto $P_0$ appartenente alla retta ed un vettore ad essa parallela, ci siamo ricondotti all'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore. Per cui un qualsiasi punto $P=(x,y)$ appartiene ad r se e solo se $P-P_0$ è parallelo ad un qualsiasi multiplo del vettore u, cioè se $(x,y)=t(l,m)$. Cioè,

$\{\begin{array}{c}x-x_0=tl\\ y-y_0=tm\end{array},t\in ℝ$

che è equivalente a dire

$\{\begin{array}{c}x=x_0+tl\\ y=y_0+tm\end{array},t\in ℝ$.

Per capire meglio questo concetto è utile osservare la seguente figura;

Ogni vettore che finisce sulla retta è somma di un qualche $t\overrightarrow{u}$ e di $\overrightarrow{O{P}_0}$ e l'insieme di tutti questi vettori descrive completamente la retta.

Esempio

Trovare l'equazione della retta passante per $P_0=(1,-3)$ e parallela al vettore $u=(1,-6)$.

I punti $P=(x,y)$ hanno equazione

$\{\begin{array}{c}x=x_0+lt\\ y=y_0+lm\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-3-6t\end{array}$ ricaviamo t $\{\begin{array}{c}t=x-1\\ y=-3-6(x-1)=-6x+3\end{array}$

Quindi l'equazione è $y=-6x+3$ o equivalentemente $6x+y-3=0$.

Possiamo inoltre ora stabilire se un punto P appartiene alla retta sostituendo le sue coordinate nel sistema sopra. Per esempio, verifichiamo se il punto $P_1=(3,-1)$ appartiene alla retta di equazione $6x+y-3=0$.

$\{\begin{array}{c}3=1+t\\ -1=-3-6t\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}2=t\\ -\frac{1}{3}=t\end{array}$, il sistema non ha soluzioni quindi P non appartiene alla retta.

Equazione parametrica di una retta passante per due punti

Analogamente a quanto fatto prima (cioè conoscendo un punto $P_0\in r$ e un vettore parallelo ad r, possiamo ricavare l'equazione parametrica di una retta r passante per due punti $P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1)$. Notiamo però che un vettore parallelo ad r ce lo abbiamo già: esso è infatti $P_1-P_0$. Allora $P=(x,y)\in r$ se :

$P-P_1=t(P_1-P_0)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x-x_0=t(x_1-x_0)\\ y-y_0=t(y_1-y_0)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=x_0+t(x_1-x_0)\\ y=y_0+t(y_1-y_0)\end{array}$

Intersezione di due rette in forma parametrica

Siano

$r:\{\begin{array}{c}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\end{array}$ $s:\{\begin{array}{c}x=x_1+l^{\prime }s\\ y=y_1+m^{\prime }s\end{array}$

due rette in forma parametrica (parallele rispettivamente ai vettori $(l,m),(l^{\prime },m^{\prime })$). Vogliamo ora vedere se r ed s si intersecano in qualche punto.

Dobbiamo risolvere il sistema in t ed s per vedere se esistono dei $t,s\in ℝ$ tali che le coordinate di un eventuale punto intersezione $P$ siano uguali.

$\{\begin{array}{c}{x}_0+lt=x_1+l^{\prime }s\\ y_0+mt=y_1+m^{\prime }s\end{array}$

Ora troviamo questo punto di intersezione $P$, ma osserviamo prima una figura di esempio che ci aiuta a capire in quale situazione siamo:

Il punto di intersezione tra le due rette P è ottenuto da $P_0+tu=P=P_1+sv$, con t ed s opportuni numeri reali soluzioni del sistema sopra.

Esempio

Sia r una retta passante per (0,0) e parallela al vettore (1,-1), s una retta passante per $P_1=(1,1,)$ e parallela al vettore (1,+2). Trovarne (se esistono) le intersezioni.

$r:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-t\end{array}$ $s:\{\begin{array}{c}x=1+s\\ y=1+2s\end{array}$

$\{\begin{array}{c}t=1+s\\ -t=1+2s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=1+s\\ -s-2s=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=1+s\\ s=-\frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}t=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\\ s=-\frac{2}{3}\end{array}$

Quindi le due rette si intersecano quando $t=\frac{1}{3}$ e $s=-\frac{2}{3}$ e per trovare le coordinate del punto di intersezione P possiamo scegliere arbitrariamente di sommare $P_0$ con t (1,-1) oppure considerare l'altra retta e fare la stessa cosa per s che abbiamo trovato. È del tutto ininfluente scegliere uno piuttosto che l'altro perché essendo t ed s soluzioni del sistema, ci assicura che $P_0+t(l,m)=P_1+s(l^{\prime },m^{\prime })=P$.

Scegliamo di considerare $P_0$ e $t=\frac{1}{3}$ e abbiamo che

$P=(0,0)+\frac{1}{3}(1,-1)=(\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$.

Scegliendo di lavorare con $P_1$ ed s (l', m'), si giunge allo stesso risultato. Provare per credere!

Distanza di un punto da una retta

Sia $r:ax+by+c=0$ una retta, $u=(a,b)$ un vettore ortognale ad r, $P=(x_0,y_0)$ un punto appartenente a r e $Q=(h,k)$ un punto del piano.

La formula per ottenere la distanza di Q da r è

$\frac{\mid ah+bk+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$

Dimostriamo questa formula. Siamo in una situazione di questo tipo:

Innanzitutto abbiamo che

$||u||=\sqrt{a^2+b^2}$ e $Q-P=(h-x_0,k-y_0)$ e la distanza che cerchiamo è $d=|\overline{QR}|$.

Il triangolo $P\hat{R}Q$ è retto e la trigonometria ci dice che possiamo ricavare un cateto moltiplicando l'ipotenusa per il coseno dell'angolo compreso tra ipotenusa e cateto. Quindi

$d=|\overline{PQ}|\cdot \cos (\overline{PQ}\stackrel{}{^}\overline{QR})\iff |(P-Q)|\cdot \cos (\overline{PQ}\stackrel{}{^}u)$

perché u è parallelo a $\overline{QR}$, quindi l'angolo non cambia.

Il coseno lo possiamo ricavare dalla definizione di prodotto scalare

$\cos (\overline{PQ}\stackrel{}{^}u)=\frac{(P-Q)\cdot u}{||(P-Q)||\cdot ||u||}$.

Applicando la formula di prima per la distanza, abbiamo:

$d=|(P-Q)|\cdot \frac{(P-Q)\cdot u}{||(P-Q)||\cdot ||u||}\iff$