Ripasso di fluidodinamica, leggi dei gas e gasdinamica

Introduzione

In questa lezione rivedremo le relazioni che permettono di analizzare il comportamento dei fluidi, prima liquidi incomprimibili, poi fluidi comprimibili. Infine introdurremo le relazioni che regolano la dinamica dei gas comprimibili a velocità vicine a quella del suono.

Liquidi: fluidi incomprimibili

Come anticipato nel ripasso di termodinamica, in questo corso considereremo sempre i liquidi come fluidi del tutto incomprimibili (e a calori specifici costanti, ma questo è quasi ovvio per i liquidi).

I liquidi, ed in particolare l'acqua, sono ampiamente sfruttati nel campo delle turbomacchine per certe loro proprietà che possono essere sfruttate in date situazioni con maggiore vantaggio rispetto ai gas:

• sono facili da contenere e conservare (inoltre l'acqua è poco reattiva chimicamente)
• hanno alti calori specifici, sono perciò adatti a trasferire calore (raffreddamento di impianti a vapore, etc.)
• hanno un elevata densità (possibilità di sfruttare vantaggiosamente salti geodetici per produrre energia, sfruttando il naturale ciclo dell'acqua)

Equazione di continuità

L'equazione di continuità applicata ad un volume di controllo di un flusso stazionario ( $\dot{m}=\text{cost}$ ), con densità ρ e velocità v costanti (o mediate nel tempo e in uno spazio monodimensionale), afferma che:

${\rho }_1{v}_1\cdot {𝐀}_{1n}={\rho }_2{v}_2\cdot {𝐀}_{2n}$

dove A_n è l'area perpendicolare al vettore velocità, ovvero A_n = A · cosθ, con θ l'angolo compreso tra i vettori velocità e vettore normale all'area A.

Questa definizione esclude ogni tipo di accumulo di massa nel volume di controllo preso in considerazione.

Equazione di Bernoulli

L'equazione di Bernoulli descrive le proprietà energetiche lungo una linea di flusso di liquido non viscoso:

$𝐓=\frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho }=\text{constant}$

dove:

$v$ è la velocità del flusso

$g$ è l'accelerazione di gravità

$z$ è la quota geodetica

$p$ è la pressione

$\rho$ è la densità

$𝐓$ viene detto trinomio di Bernoulli

L'equazione rappresenta matematicamente il principio di Bernoulli che descrive il fenomeno per cui in un fluido ideale su cui non viene applicato un lavoro, per ogni incremento della velocità si ha simultaneamente una diminuzione della pressione o un cambiamento nell'energia potenziale gravitazionale del fluido.

Un'importante conseguenza è la velocità di efflusso da un bacino a pressione atmosferica con una differenza di quota h tra pelo libero e punto di efflusso, detta appunto velocità torricelliana:

$v_2=\sqrt{2gh}$

Gas

La novità che andiamo ad introdurre con i gas è data dalla loro comprimibilità. Essi sono da considerarsi generalmente comprimibili, ma possono fluire anche senza variazioni di volume (in condizioni isocore).

Al fine di definire il campo di validità dell'ipotesi di incomprimibilità, viene analizzato il valore del numero di Mach, che rappresenta la velocità di movimento del gas in relazione alla velocità del suono in quelle condizioni di temperatura. Generalmente, gli effetti della comprimibilità possono essere trascurati per numeri di Mach di valore inferiore a 0,3.

Equazione di stato dei gas perfetti

L'equazione di stato dei gas perfetti è già stata vista nel ripasso di termodinamica:

$pV=nRT$

Entropia nei gas

L'entropia ricordiamo che è una funzione di stato, infatti dalla seconda equazione del T ds si vede che lungo una qualunque trasformazione l'aumento infinitesimale di entropia vale:

$ds=\frac{dh}{T}-\frac{vdp}{T}=\frac{c_{p}dT}{T}-\frac{Rdp}{p}$

che integrato lungo una trasformazione da uno stato 1 ad uno stato 2, vale:

$\mathrm{\Delta }s=c_{p}ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-Rln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)$

Calore specifico

l calore specifico di una sostanza è definito come la quantità di calore necessaria per innalzare (o diminuire) la temperatura di una unità di massa di 1 K (o equivalentemente di 1 ºC).

Per una generica trasformazione x, vale: $c_x={\left(\frac{\partial q}{dT}\right)}_x$

Relazione di Mayer

Differenziando la definizione di entalpia e sostituendo i termini di energia interna ed entalpia con la loro relazione con la temperatura e usando la legge fondamentale dei gas:

$dh=du+pdv+vdp$

$c_{p}dT=c_{v}dT+RdT$

elidendo il dT, otteniamo:

$c_p=c_v+R$

detta relazione di Mayer, che lega i calori specifici con la costante specifica del gas.

Trasformazioni

Isobara

Una trasformazione isobara è caratterizzata dal fatto che avviene a pressione costante.

Isocora

Una trasformazione isocora è caratterizzata dal fatto che avviene a volume costante. Questa trasformazione perciò non effettua lavoro.

Isoterma

Una trasformazione isoterma è caratterizzata dal fatto che avviene a temperatura costante.

• Questa trasformazione perciò non produce variazione delle funzioni di stato dipendenti dalla temperatura: ΔU = ΔH = 0.
• In questa trasformazione il prodotto pv = cost.
• Dal primo principio si vede che se non varia l'energia interna ( ΔU=0 ) allora Q = L, ovvero tutto il lavoro entrante diventa calore, o viceversa, a seconda del verso in cui avviene la trasformazione.
• Il lavoro compiuto da una trasformazione isoterma vale:

$l=\underset{1}{\overset{2}{\int }}vdp=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{RT}{p}dp=RTln\frac{p_2}{p_1}$

Isoentropica e adiabatica

Una trasformazione isoentopica è caratterizzata dal fatto che avviene a entropia costante. Una trasformazione adiabatica invece è una trasformazione caratterizzata dal fatto che avviene senza alcuno scambio di calore da e verso il sistema.

• Vista la definizione di entropia, si può intuire che le due definizioni si vanno a sovrappore quando la trasformazione in questione è reversibile (ideale), ovvero quando non esistono dissipazioni l_w, perché:

$\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{rev}}{T}$

perciò in una

• In questa trasformazione il prodotto $p{v}^{\gamma }=cost$ (equivalentemente anche $\frac{p}{T^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}}=cost\text{e}\frac{\rho }{T^{\frac{1}{\gamma -1}}}=cost$ ).

L'esponente è indicato con $\gamma$ o alle volte con $k$, equivalentemente.

Spesso è più comodo esprimere la relazione tra due stati come uguaglianza tra rapporti, ad esempio:

$\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}$

• Dalla seconda equazione del T ds si vede che in un isoentropica, caratterizzata appunto da Δs = 0:

$c_{p}ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=Rln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)$

• Dal primo principio si vede che in una trasformazione reversibile di questo tipo tutto il lavoro entrante si trasforma in energia interna, e viceversa.

Politropica

Si dice politropica una trasformazione termodinamica che segue una legge del tipo:

$p\cdot v^n=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}$

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:

• $n=0$, $c=c_p$ e la trasformazione è isobara (p=cost)

• $n=1$, $c=\pm \mathrm{\infty }$ e la trasformazione è isoterma (pv=cost)

• $n=\pm \mathrm{\infty }$, $c=c_v$ e per la trasformazione è isocora (v=cost)

• $n=\gamma$, $c=0$ e la trasformazione è adiabatica $\delta q=0$

Il calore specifico è negativo per $1<n<\gamma$ ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

Inoltre, il legame tra il calore specifico della trasformazione e l'esponente n è dato da:

$c=c_v\cdot \frac{n-\gamma }{n-1}$

Grandezze totali e grandezze statiche

Per comodità vengono definite per le grandezze di pressione, entalpia, temperatura e densità anche delle cosiddette grandezze totali (in contrapposizione alle grandezze statiche che usiamo di solito), che rappresentano il valore che avrebbe la data grandezza se il fluido in moto si arrestasse isoentropicamente, ovvero se convertisse tutta la propria energia cinetica in pressione, entalpia etc.

Solitamente le grandezze totali vengono indicate con una T o uno zero al pedice, ad esempio: T_t o T₀ è la temperatura totale, rispetto alla temperatura statica T.

Ecco alcune definizioni:

$h_T=h+\frac{v^2}{2}$

$p_T=p+\frac{v^2}{2}\rho$

$T_T=T+\frac{v^2}{2c_p}$

Dinamica dei gas a velocità soniche

Un parametro fondamentale per comprendere il comportamento dei gas è il numero di Mach, così definito:

$M=\frac{v}{c}$

dove c è la velocità del suono nelle date condizioni.

Le seguenti considerazioni e relazioni valgono per i gas considerati in condizioni comprimibili, ovvero con numero di Mach > 0,3.

Velocità del suono

La velocità del suono in un fluido è un fattore molto importante in gasdinamica, poiché influenza il comportamento del gas.

La velocità del suono viene definita come la velocità alla quale si propagano le onde sonore nel materiale. Questa velocità però non dipende solo dal mezzo (ovvero il materiale, dal quale tuttavia essa dipende molto) ma, per un gas, anche dalla temperatura a cui il gas si trova. Andremo a dimostrare che la velocità del suono in un gas dipende da tre fattori, la costante adiabatica γ, la costante specifica del gas R e la temperatura del gas T, secondo tale relazione:

$\sqrt{\gamma RT}$

Relazioni dei gas comprimibili

In un dato gas comprimibile la relazione tra grandezze totali e relative grandezze statiche sono funzioni del solo numero di Mach: $f(M)$.

Difatti valgono sempre le seguenti equazioni:

$\frac{T_T}{T}=1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2$

$\frac{p_T}{p}={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}$

$\frac{{\rho }_T}{\rho }={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$

Inoltre, fissate la geometria del condotto (A) e fissate le condizioni di monte (p_T, T_T), anche la portata massica è funzione del numero di Mach:

$\dot{m}=\frac{A_n{p}_T}{\sqrt{c_p{T}_T}}\frac{\gamma }{\sqrt{\gamma -1}}M{(1+\frac{1-\gamma }{2}{M}^2)}^{-\frac{1}{2}\frac{\gamma +1}{\gamma -1}}$