Sistemi dinamici in forma di stato

E' possibile descrivere un sistema dinamico con due equazioni:

• l'equazione di stato', unequazione differenziale ordinaria vettoriale del primo ordine;
• l'equazione di uscita', unequazione algebrica

Un sistema descritto in questo modo viene detto sistema in forma di stato.

Considerando il tempo una variabile $t\in ℝ$ reale (non discreta), un sistema in forma di stato è descritto come:

$$\begin{array}{cc}\dot{x}(t)& =f(x(t),u(t),t)\text{equazione di stato}\\ y& =h(x(t),u(t),t)\text{equazione di uscita}\end{array}$$

Indicheremo da qui in poi $\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}x(t)$.

Consideriamo le grandezze dei vettori $x$, $u$ e $y$:

• $x(t)\in {ℝ}^n$
• $u(t)\in {ℝ}^m$
• $y(t)\in {ℝ}^p$

Le dimensioni di questi vettori sono molti importanti, in quanto da esse dipendono molte proprietà del sistema (SISO, MIMO).

Equazione di stato

L'equazione di stato è un equazione differenziale ordinaria (ODE) vettoriale del primo ordine. In questo corso supporremo che ogni componente dello stato sia un valore scalare.

$$\begin{array}{cc}{\dot{x}}_1(t)& =f_1(x(t),u(t),t)\\ {\dot{x}}_2(t)& =f_2(x(t),u(t),t)\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n(t)& =f_n(x(t),u(t),t)\end{array}$$ con: $$f:\underset{x(t)}{\underbrace{{ℝ}^n}}\times \underset{u(t)}{\underbrace{{ℝ}^m}}\times \underset{t}{\underbrace{ℝ}}⟼{ℝ}^n$$

Lo spazio di stato è quindi ${ℝ}^n$, con $n$ detto ordine del sistema.

Equazione di uscita

L'equazione di uscita è un'equazione algebrica del tipo:

$$\begin{array}{cc}{y}_1(t)& =h_1(x(t),u(t),t)\\ y_2(t)& =h_2(x(t),u(t),t)\\ ⋮\\ y_m(t)& =h_m(x(t),u(t),t)\\ \end{array}$$ con: $$h:\underset{x(t)}{\underbrace{{ℝ}^n}}\times \underset{u(t)}{\underbrace{{ℝ}^m}}\times \underset{t}{\underbrace{ℝ}}⟼{ℝ}^p$$