Spazi di omomorfismi

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali e $f : V \to W$ un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di $f$ da $V$ in $W$

H o m (V, W) : = {f : V \to W, f lineare}

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che $H o m (V, W)$ è effettivamente uno spazio vettoriale.

Equazioni di $f$

Sia $f : V \to V$ un'applicazione lineare e siano $ℬ = (v_{1}, \dots, v_{n}), ℬ^{'} = (w_{1}, \dots, w_{m})$ basi ordinate rispettivamente di $V$ e $W$ .

Sappiamo che ogni elemento di $W$ è combinazione lineare dei $w_{i}$ della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori $(w_{1}, \dots, w_{m}) \cdot (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{m} \end{matrix}) = a_{1} w_{1} + a_{2} w_{2} + \dots + a_{m} v_{m}$ .

Ora, un omomorfismo porta $ℬ$ in $f (ℬ) = (f (v_{1}), \dots, f (v_{n}))$ dunque ogni $f (v_{j})$ appartiene a $W$ e si potrà scrivere $f (v_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{j} w_{i}$ . Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga $ℬ^{'}$ e di un opportuno vettore colonna $A$ . Se raggruppiamo tutti gli $m$ vettori colonna (tanti quanti sono gli $f (v_{j})$ ) in una matrice $m \times n$ , otteniamo dunque la seguente matrice:

(a_{i j}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

.

Possiamo allora scrivere ogni $f (v_{j}) \in W$ come $f (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} a_{i j}$ oppure

f (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}

, con

, j = 1, \dots, n

.

La matrice $(a_{i j}) \in M_{m \times n} (𝕂)$ ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base $ℬ^{'}$ dell'immagine del j-esimo vettore di $ℬ$ . . Questa matrice la denotiamo con $M_{ℬ^{'} ℬ} (f)$ .

Equazioni scalari

Ricapitolando, abbiamo dunque che $v \in V, v = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} v_{j}$ , $w \in W, w = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} w_{i}$ e $f (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}$ . Allora:

f (v) \in W \to f (v) = f (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} v_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} f (v_{j}) =

\sum_{j = 1}^{n} x_{j} (\sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{i j}) w_{i}

Dunque le coordinate di un qualunque vettore $w \in W$ sono date da $\sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{i j}$ .

L'equazione $x'_{i} = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{i j}$ è detta equazione scalare di $f$ relativa a $ℬ$ e $ℬ^{'}$ .

Equazioni matriciali

Poniamo ora $X^{'} =^{t} (x'_{1}, \dots, x'_{n})_{ℬ^{'}}$ e $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})_{ℬ}$ . Allora

X^{'} = M_{ℬ^{'} ℬ} (f) \cdot X

è l'equazione matriciale di $f$ relativa a $ℬ$ e $ℬ^{'}$ .

Esempio

$f : ℝ^{2} \to ℝ^{4}$ , $v_{1} = (3, 1), v_{2} = (- 1, 2)$ , $ℬ = (v_{1}, v_{2})$ e infine $f = {\begin{matrix} v_{1} \mapsto 0 \\ v_{2} \mapsto (1, 2, 3, 4) \end{matrix}$ . Consideriamo poi la base canonica di $ℝ^{4}$ $E_{4} = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})$ .

Abbiamo allora $M_{E ℬ} (f) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{matrix})$ , cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di $f (v_{1})$ e $f (v_{2})$ in base $E$ . Per ottenere le coordinate di un generico vettore $v \in ℝ^{2}$ usiamo l'equazione matriciale $X^{'} = M_{ℬ^{'} ℬ} (f) \cdot X$ (dove $X$ rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base $ℬ$ ), cioè:

X^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

.

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore $v = (7, 0) \in ℝ^{2}$ nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di $v$ in base $𝔹$ :

v = x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2} = x_{1} (3, 1) + x_{2} (- 1, 2)

{\begin{matrix} 3 x_{1} - x_{2} = 7 \\ x_{1} + 2 x_{2} = 0 \end{matrix} ⟶ {\begin{matrix} x_{1} = 2 \\ x_{2} = - 1 \end{matrix}

. Dunque

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \\ - 4 \end{matrix})

Le coordinate di $v$ in base $E$ sono quindi $(- 1, - 2, - 3, - 4)$ .

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione $f$ che associa un vettore $v$ alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.

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