Spazi di probabilità

Spazi di probabilità discreti

Sia

$\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_k,\cdots \}$

un insieme discreto, con cardinalità finita o infinita numerabile. In tal caso, si può scegliere come $\sigma$-algebra la collezione delle parti

$F=2^{\mathrm{\Omega }}$

Un evento è definito come

$A=\bigcup _{i\in I_A}\{{\omega }_i\},\mathrm{\forall }A\in F$

dove gli ${\omega }_i$ sono gli eventi elementari e disgiunti:

${\omega }_i\ne {\omega }_j\mathrm{\forall }i\ne j$)

Allora, la probabilità viene definita come

$P(A)=\sum _{i\in I_A}P({\omega }_i)$

Per caratterizzare in modo completo uno spazio di probabilità discreto è sufficiente, quindi, calcolare soltanto le probabilità dei singoli elementi di $\mathrm{\Omega }$,

$P({\omega }_i),\mathrm{\forall }i$

Se la probabilità dei singoli eventi non è uniforme, allora il metodo classico introduce un errore.

Spazi di probabilità continui

Se $\mathrm{\Omega }$ è un insieme continuo, la sua dimensione $|\mathrm{\Omega }|$ è infinita non numerabile. In questo caso, l'insieme delle parti $F=2^{\mathrm{\Omega }}$ è troppo ricco per poter definire una misura di probabilità sul suo contenuto.

Le successioni di insiemi $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ possono essere

• decrescenti (rispetto alla relazione di inclusione), cioè

$A_n\supseteq A_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$.

• crescenti, cioè

$A_x\subseteq A_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$

Spazio di Borel

Dato lo spazio campione

$\mathrm{\Omega }=ℝ(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

si consideri l'insieme $G$, formato da tutti i sottoinsiemi di $ℝ$ dati dalla somma finita di intervalli disgiunti

$(a,b]=\{x\in ℝ|a<x\le b\}\text{ con }-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$

Allora

$G=\bigcup _{i=1}^n(a_i,b_i]\text{ con }n<\mathrm{\infty }$

Algebra di Borel

L'algebra di Borel in $ℝ$ è definita come la più piccola $\sigma$-algebra generata dalla collezione di tutti gli intervalli della forma $(a,b]$ e viene indicata come $𝔹(ℝ)$.

Lo spazio di Borel è definito come $(ℝ,𝔹(ℝ))$. La restrizione di $(ℝ,𝔹(ℝ))$ ad un insieme $A\in 𝔹(ℝ)$ è la $\sigma$-algebra di tutti gli insiemi della forma $B\cap A$ con $B\in 𝔹(ℝ)$.

Metodi per l'introduzione di misure su spazi misurabili

In generale è più semplice definire una misura di sottoinsiemi di $\mathrm{\Omega }$ e poi estenderla alla $\sigma$-algebra $F$. Nel caso continuo, si procede definendo la misura di sottoinsiemi di $\mathrm{\Omega }$ appartenenti ad un'algebra tale che $F$ possa essere generata.

Consideriamo $(\mathrm{\Omega },F)$. Sia $a$ un'algebra di $\mathrm{\Omega }$ tale che $F=o(a)$. Allora, si può definire una premisura

$m_0:a\to [0,\mathrm{\infty }]$

in modo tale che gli insiemi siano

$A_k\in a,\mathrm{\forall }k=1,2,\cdots$

sono disgiunti a coppie e

$(\bigcup _k{A}_k\in a)$

Allora, la misura dell'algebra è

$m\left(\bigcup _k{A}_k\right)=\sum _k{m}_0(A_k)$

Probabilità su spazi misurabili

Consideriamo $\mathrm{\Omega }=ℝ$, $F=𝔹(ℝ)$. Definiamo la probabilità

$P_0|P(\mathrm{\Omega })=1$

sull'algebra $G$ di tutti i sottoinsiemi di $ℝ$ del tipo

$\bigcup _{k=1}^n(a_k,b_k)$

con

$(a_i,b_i)\cap (a_j,b_j)=\varnothing \mathrm{\forall }i\ne j$

Nota: si ha $o(G)=𝔹(ℝ)$.

Per definire $P_0$ definiamo la funzione di distribuzione $F_X$.

F_X_di_uniforme

F_X_di_uniforme

Definiamo $P_0:G\to [0,1]$ come la probabilità

$P_0(A)=\sum _{k=1}^m[F(b_k)-F(a_k)]\mathrm{\forall }A\in G|A=\bigcup _{k=1}^m(a_k,b_k)$

dove gli $(a_k,b_k)$ sono disgiunti a coppie. Si può dire che $P_0$ è $\sigma$-finita,

$P_0(\mathrm{\Omega })=1$

Dal teorema di Caratheodory segue che $P_0$ si estende in modo univoco alla misura $P$ su $(ℝ,𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)})$ tale che

$P((a,b])=F_X(b)-F_X(a)$

Anche $P$ è una probabilità, perché

$P(\mathrm{\Omega })=F_X(\mathrm{\infty })-F_X(-\mathrm{\infty })=1$

La $F_X(x)$ può essere assegnata come:

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha$

con

$f_X(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in ℝ$

e dove vale

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha =1$

La $f(\cdot )$ è detta funzione di densità di probabilità, o densità della funzione di distribuzione $F$.

Se esiste la $f_X(x)$, allora si ha

$P((a,b])=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\alpha )d\alpha$

Analogamente al caso monodimensionale, si può definire una misura di probabilità assegnando un'opportuna densità di probabilità

$f:{ℝ}^2\to [0,\mathrm{\infty }]$

integrabile e tale per cui

$f(\alpha ,\beta )\ge 0\mathrm{\forall }(\alpha ,\beta )\in {ℝ}^2$

con

$\underset{{ℝ}^2}{\int }f(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta =1$

Il metodo visto si applica anche ai seguenti casi:

• $(A,𝔹(A))$ con $A\in 𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}$. In tal caso

$\underset{A}{\int }f\left(\alpha \right)d\alpha =1$

• ${ℝ}^n,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^n)$, con

$\underset{{ℝ}^n}{\int }f({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_n=1$

• $(A,𝔹(A))$ con $A\in {𝔹\mathbb{(}ℝ}^n)$ e

$\underset{A}{\int }f({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_n=1$

Per la soluzione dell'esercizio, si veda la pagina della soluzione.