Spazi metrici

Un sistema di coordinate $O{𝐞}_1{𝐞}_2\dots {𝐞}_n$ in uno spazio euclideo tale che $\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,\dots ,{𝐞}_n\}$ sia una base ortonormale si chiama sistema di riferimento cartesiano ed è di solito il sistema di riferimento preferito negli spazi euclidei in quanto semplifica notevolmente i calcoli.

Funzione metrica

Si dice metrica in un insieme $X\ne \mathrm{\varnothing }$ una funzione

$d:X^2\to ℝ,(x,y)\mapsto d(x,y)$

che gode delle seguenti proprietà:

1. $d(x,y)\ge 0\text{ e }d(x,y)=0\iff x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x)$
3. $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

tutto questo per ogni $x,y,z\in X$.

Utilizzando l'operazione di prodotto scalare, è possibile definire in uno spazio euclideo $ℰ$ nozioni metriche quali distanze, angoli, aree.

Distanza

La metrica $d(x,y)\in {ℝ}^{+}$ si dice distanza di $x$ da $y$, definita come

$d(x,y)=\Vert \overrightarrow{xy}\Vert$

La distanza in uno spazio numerico ${ℰ}^n$ di due punti $X=(x_1,\dots ,x_n)$ e $Y=(y_1,\dots ,y_n)$ è

$\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-x_i{)}^2}$

e se $ℰ=V$, dove $V$ è uno spazio vettoriale euclideo si ha

$d(𝐯,𝐰)=\Vert 𝐰\mathbf{-}𝐯\Vert$

Infatti, per le proprietà della norma,

$\Vert 𝐯\mathbf{-}𝐰\Vert \ge 0$ e $\Vert 𝐯\mathbf{-}𝐰\Vert =0\iff 𝐯\mathbf{=}𝐰$

$\Vert 𝐯\mathbf{-}𝐰\Vert =\Vert \mathbf{-}\mathbf{(}𝐰\mathbf{-}𝐯\mathbf{)}\Vert =|-1|\Vert 𝐰\mathbf{-}𝐯\Vert ,\mathrm{\forall }𝐯,𝐰\in V$

$\Vert 𝐮\mathbf{-}𝐰\Vert =\Vert \mathbf{(}𝐮\mathbf{-}𝐯\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}𝐯\mathbf{-}𝐰\mathbf{)}\Vert \le \Vert 𝐮\mathbf{-}𝐯\Vert +\Vert 𝐯\mathbf{-}𝐰\Vert ,\mathrm{\forall }𝐯,𝐰\in V$

Spazio metrico

Definiamo a questo punto lo spazio metrico $(X,d)$, cioè un insieme non vuoto su cui è definita una metrica che gode delle proprietà sopra annunciate. In altri termini, uno spazio metrico è un insieme su cui è definita una distanza.

Le proprietà della distanza indicate precedentemente ci dicono che ogni spazio euclideo è uno spazio metrico. Infatti è sufficiente considerare le proprietà del prodotto scalare per vedere che sono le stesse della distanza, tenendo però bene a mente (anche se non lo dimostreremo ora e prenderemo per buona questa affermazione) che in generale non vale il viceversa, cioè non tutti gli spazi metrici sono anche spazi euclidei.

Isometrie, omomorfismi di spazi euclidei e operatori unitari

Siano $X,X^{\prime }$ sua spazi metrici. Una applicazione

$j:X\to X^{\prime }|d(x,y)=d^{\prime }(j(x),j(y)),\mathrm{\forall }x,y\in X$

si dice isometria.

Un omomorfismo da uno spazio $(V,<,>)$ ad un altro spazio euclideo $(V^{\prime },<,{>}^{\prime })$ è un'applicazione lineare

$f:V\to V^{\prime }$ tale che $<𝐯,𝐰>=<f(𝐯),f(𝐰){>}^{\prime }$

Se l'applicazione $f$ appena definita è un endomorfismo, cioè è $f:(V,<,>)\to (V,<,>)$, si dice che è un operatore unitario su $(V,<,>)$.