Statica (meccanica razionale)

Lezione 2:
Statica

La statica si occupa dell'equilibrio dei corpi allorquando sono soggetti all'azione di forze nelle condizioni di quiete o di moto rettilinio uniforme.

Forza e momento di una forza

Il momento di una forza F rispetto a un punto p è uguale al prodotto dell intensita F della forza per il braccio b M=Fb

Forza

Si chiama forza qualsiasi causa esterna che tende a modificare lo stato di quite o di moto di un corpo. Essa è un vettore in quanto per definirla occorre conoscere il modulo (intensità della forza), la direzione (retta di azione) ed il verso di azione.

Momento di una forza rispetto ad un asse

Preso un asse ab ed un vettore $\overrightarrow{AB}$, e chiamato con $\overrightarrow{h}$ la distanza della retta d'azione dall'asse ab, si chiama momento di $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F}$ (essendo $\overrightarrow{AB}$ una forza) il numero

$M_{ab}=h\cdot |F|sen(a)$

Essendo a l'angolo che forma la retta di azione di $\overrightarrow{F}$ con l'asse rispetto a cui stiamo eseguendo il momento. Il segno ± a seconda che $\overrightarrow{AB}$ sia antiorario o orario rispetto ad ab. Il momento assiale è nullo ogni qualvolta la forza $\overrightarrow{F}$ e l'asse sono complanari.

Momento di una forza rispetto ad un punto

Sia O un punto dello spazio: si definisce come momento di una forza $\overrightarrow{F}$ rispetto ad O il prodotto vettorial

$M_o=\overrightarrow{(OA)}\wedge \overrightarrow{F}=|OA|\cdot |F|\cdot sen(\alpha )\overrightarrow{n}$

Se in O poniamo un riferimento cartesiano, il momento di $\overrightarrow{F}$, di componenti $F_x$, $F_y$, $F_z$ rispetto ai tre assi, applicato in P di coordinate x,y,z, rispetto ad O, viene determinbato da:

$\Vert \begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x& y& z\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\Vert$

che si riduce a:

$M=(F_{x}y-F_{y}z)\overrightarrow{i}+(F_{x}z-F_{z}x)\overrightarrow{j}+(F_{y}x-F_{x}y)\overrightarrow{k}$

Mentre i momenti di $\overrightarrow{F}$ rispetto ai tre assi sono ovviamente dati da:

$M_x=F_z\cdot y-F_y\cdot z$
$M_y=F_x\cdot z-F_z\cdot z$
$M_z=F_y\cdot x-F_x\cdot y$

Teoremi generali sui sistemi di forze

Risultante e momento risultante

Si chiama sistema di forze l'insieme di più forze applicate ad un corpo. Chiamiamo risultante del sistema di forze il vettore di componenti

$R_x=\sum _{i=1}^n{F}_{xi}$	$R_y=\sum _{i=1}^n{F}_{yi}$	$R_z=\sum _{i=1}^n{F}_{zi}$

essendo $F_{xi}$, $F_{yi}$ e $F_{zi}$ le componenti rispetto ai tre assi della generica forza $\overrightarrow{F_i}$.

Mentre chiamiamo momento risultante del sistema rispetto ad un punto P($x_p,y_p,z_p$) il vettore di componenti

$M_x=\sum _{i=1}^n[(y_i-y_p)F_{zi}-(z_i-z_p)F_{yi}]$
$M_y=\sum _{i=1}^n[(z_i-z_p)F_{xi}-(x_i-x_p)F_{zi}]$
$M_z=\sum _{i=1}^n[(x_i-x_p)F_{yi}-(y_i-y_p)F_{xi}]$

Essendo $x_i$, $y_i$, $z_i$ le coordinate del punto di applicazione $A_i$ della generica forza $\overrightarrow{F_i}$.

Sistemi di forze particolari

Sistema di forze concorrenti

Se tutte le forze concorrono in un punto A, la risultante passa per A, mentre il momento risultante rispetto ad un punto P coincide con il momento della risultante. Invero dalle (2), essendo tutti i punti di applicazione delle forze coincidenti con il punto A, si ottiene

$M_x=(x_A-x_p)\sum _{i=1}^n{F}_{zi}-(y_A-y_p)\sum _{i=1}^n{F}_{yi}$
$M_y=(z_A-z_p)\sum _{i=1}^n{F}_{xi}-(x_A-x_p)\sum _{i=1}^n{F}_{zi}$
$M_z=(x_A-x_p)\sum _{i=1}^n{F}_{yi}-(y_A-y_p)\sum _{i=1}^n{F}_{xi}$

Sistema nullo

Si dice che il sistema di forze è nullo allorquando accade:

$\overrightarrow{R}=0$

$\overrightarrow{M}=0$ (rispetto ad un polo qualsiasi)

Sistema di forze parallele

-a)Se tutte le forze costituenti il sistema sono parallele ad una retta r data, il sistema gode di particolari proprietà. In quanto il modulo del risultante è dato direttamente dalla somma delle $\overrightarrow{|F|}$

$\overrightarrow{|R|}=\sum \overrightarrow{|F|}$

ed è diretto come la retta r cioè

.$\overrightarrow{R}=\sum \overrightarrow{|F|}\cdot r$