Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

Inclusione

Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:

$\mathrm{\forall }x(x\in A\Rightarrow x\in B)$

Questa proprietà si riassume con un simbolo $\subseteq$ detto di "inclusione": $A\subseteq B$.

Insieme vuoto

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo $\varnothing$, oppure $\mathrm{\varnothing }$, è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

Uguaglianza

Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:

$A=B\iff (A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$

Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

Unione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo $A\cup B$, e una definizione formale è la seguente:

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$

Proprietà

• commutatività
• associatività
• riflessività

Intersezione

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo $A\cap B$, definito con:

$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$

Proprietà

• commutatività
• associatività
• riflessività

Differenza

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza $A\setminus B$ l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\in ̸B\}$

Insieme complementare

Nel caso in cui sia $A\subseteq X$, si definisce insieme complementare il risultato della differenza $X\setminus A$. Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo $A^C$

Coppia ordinata

Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Prodotto cartesiano

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Funzione

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Biiezione

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