Strutture algebriche

Anelli e gruppi

Esempi.

• $(\mathbb{N},+)$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
• $(\mathbb{N},\cdot )$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
• $(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo abeliano
• $(\mathbb{Z},\cdot )$ è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo $\pm 1$)

Nell'esempio, $(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo abeliano, $(\mathbb{Z},\cdot )$ è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ è un anello.

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Per esempio,

• $(\mathbb{Q},+)$ è un gruppo abeliano
• $(\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano

quindi $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ è un campo. Anche $(ℝ,+,\cdot )$ è campo, così come $(ℂ,+,\cdot )$. Nelle classi di resti, $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ è anello, perché $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ è soltanto un semigruppo.

Esempio di semigruppo, $({\mathbb{Z}}_6,\cdot )$, con divisori dello zero:

$\cdot$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]
[0]	0	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4	5
[2]	0	2	4	0	2	4
[3]	0	3	0	3	0	3
[4]	0	4	2	0	4	2
[5]	0	5	4	3	2	1

Esempio di gruppo, $({\mathbb{Z}}_5,\cdot )$, senza divisori dello zero:

$\cdot$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4
[2]	0	2	4	1	3
[3]	0	3	1	4	2
[4]	0	4	3	2	1

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Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri $a$ che precedono $n$ sono primi con $n$, allora $n$ è un numero primo; ne $n$ è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.

Gruppi ciclici

In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè

$<g>=\{1,g,g^2,g^3,\cdots \}$

Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.

$({\mathbb{Z}}_{13},\cdot )$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]	[9]	[10]	[11]	[12]
[0]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2]	0	2	4	6	8	10	12	1	3	5	7	9	11
[3]	0	3	6	9	12	2	5	8	11	1	4	7	10
[4]	0	4	8	12	3	7	11	2	6	10	1	5	9
[5]	0	5	10	2	7	12	4	9	1	6	11	3	8
[6]	0	6	12	5	11	4	10	3	9	2	8	1	7
[7]	0	7	1	8	2	9	3	10	4	11	5	12	6
[8]	0	8	3	11	6	1	9	4	12	7	2	10	5
[9]	0	9	5	1	10	6	2	11	7	3	12	8	4
[10]	0	10	7	4	1	11	8	5	2	12	9	6	3
[11]	0	11	9	7	5	3	1	12	10	8	6	4	2
[12]	0	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Osservando la tabella ${\mathbb{Z}}_{13}$ si vede che:

• $o(1)=1$
• $o(3)=o(9)=3$
• $o(4)=o(10)=6$
• $o(5)=o(8)=4$

I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di $G$.

Abbiamo visto che $6^k$ genera $({\mathbb{Z}}_{13}\setminus \{0\},\cdot )$ sse $(k,12)=1$.

$<6>=\{6,10,8,9,2,12,7,3,5,4,11,1\}=\{6^1,6^2,6^3,6^4,6^5,6^6,6^7,6^8,6^9,6^{10},6^{11},6^{12}\}$

Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di $<6>$ e sono generati da 2, 7 e 11.