Successioni divergenti

La successione in $ℝ$ $(a_{n})$ si dice divergente se

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \pm \infty

e dunque

$\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$
$\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} < - k, \forall n \in ℕ, n > m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è $\pm \infty$ , dunque non è un numero reale) è unico.

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

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Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ . Allora

\forall k \in ℝ \exists m \in ℝ : a_{n} > k, \forall n > m, n \in ℕ

Anche qui però,

i_{n} \geq n, \forall n \in ℕ

, perché non può essere altrimenti visto che se così fosse

(a_{i_{n}})

non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se

(a_{n})

diverge positivamente per ogni

n > m

, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo

i_{n} \geq n

.

◻

Dimostrazione

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$ .
Se $b_{n} \geq a_{n}$ per tutti gli $n \in ℕ$ e $a_{n} > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

◻

Criteri di esistenza del limite

Successioni monotone

Sia $(a_{n})$ una successione reale tale che

a_{n} \leq a_{n + 1}, \forall n \in ℕ

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a_{n} < a_{n + 1}$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

$a_{n} \geq a_{n + 1}$ si dice monotona decrescente;
$a_{n} > a_{n + 1}$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_{n}) ↑$ o $(a_{n}) ↓$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

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Dimostrazione

(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $ℝ$ , sappiamo che esiste $λ \in ℝ = \sup_{n \in ℕ} a_{n}$ . Allora

a_{n} \leq λ, \forall n \in ℕ

e dunque

a_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, \forall ε > 0

Inoltre

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : a_{m} > λ - ε, \forall n \in ℕ, n > m

e siccome la successione è crescente, $a_{n} \geq a_{m}, \forall n > m$ e a maggior ragione vale

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : a_{n} > λ - ε, \forall n \in ℕ, n > m

.

Dunque

\lim_{n \to \infty} a_{n} = λ = \sup_{n \in ℕ} a_{n}

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè

\sup_{n \in ℕ} a_{n} = + \infty

.

Analogamente a prima, abbiamo che

\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{m} > k

.

Sempre per la monotonia di $a_{n}$ , sappiamo che $a_{n} \geq a_{m}, \forall n > m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m

Dunque la serie è divergente e

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \sup_{n \in ℕ} a_{n} = + \infty

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.

◻

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Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

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Dimostrazione

{{todo|Risc

Successioni divergenti

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