Tavole sinottiche dei processi di correlazione per il sonar

Immagine oscilloscopica del picco di un segnale rivelato da un insieme di correlatori^{[N 1]}

Compendio di sei tavole sinottiche dei processi di correlazione per le applicazioni delle funzioni di correlazione ^[1] nel sonar passivo, tavole di rapida consultazione, strutturate sia in modo analitico che applicativo^[2]

L'esposizione analitica mostra il percorso teorico che genera le funzioni matematiche utilizzabili per il calcolo e il tracciamento delle curve di correlazione^{[N 2]}

Tavole sinottiche

Funzioni di correlazione tra segnali

Tavola nº1: Segnali sinusoidali

Curva di correlazione normalizzata calcolata per F = 1000 Hz

La tavola mostra l'algoritmo di correlazione di base^[3]

dal quale derivano tutte le procedere di calcolo della presente e di tutte le altre tavole:

$C (τ) = 1 / T o \int_{0}^{T o} [f (t)] \cdot [f (t + τ)] d t$ 1)

posta nella 1) l'espressione del segnale sinusoidale $f (t) = A \cdot \sin ω t$ si ha:

$C (τ) \approx 1 / T o \int_{0}^{T o} [A \cdot \sin ω t] \cdot [A \cdot \sin ω (t + τ)] d t \approx (A^{2} / 2) \cdot \cos ω τ$ 2) ^{[N 3]}

Pertanto l'algoritmo di calcolo della 2), normalizzato, ^{[N 4]} è indicato come funzione di correlazione tra segnali sinusoidali:

$C (τ) = \cos ω τ$ 3)

nella 3).

$ω = 2 π f$ è la pulsazione angolare calcolabile per qualsiasi valore di frequenza $f$ in Hz

$τ$ è il ritardo temporale in secondi.

Dalla curva si evince che i segnali sinusoidali sono correlati per $τ = 0$ , dove la curva presenta il suo massimo; i segnali sono completamente dissociati ^{[N 5]} per $τ = 1 / 4 f$ dove la curva taglia l'asse delle ascisse presentando uno zero.

Tavola nº2: Segnali casuali in banda rettangolare 0-F

Curva di correlazione normalizzata calcolata per un segnale di rumore in banda 0-2500 Hz

La funzione di correlazione normalizzata di un segnale ad andamento casuale ^{[N 6]} ^[4], contenuto entro la banda rettangolare di frequenze compresa tra $0 e F$ è data dall'integrale, nel campo della frequenza, della funzione di correlazione $\cos ω τ$ del segnale sinusoidale^[5]:

$C (τ) = \int_{0}^{F} [\cos ω τ] d f$ sviluppando si ha:

$C (τ) = [\frac{\sin (2 \cdot π \cdot F \cdot τ))}{(2 \cdot π \cdot F \cdot τ)}]$ 4).

L'andamento della 4), indicata come funzione di correlazione tra segnali di rumore in banda $0 - F$ ^{[N 7]}, è tracciata in figura per $F = 2500 H z$ , ha la forma della classica funzione

$sen (x) / x$

che al limite, per $x$ che tende a zero, tende ad uno.

Tavola nº3: Segnali casuali in banda rettangolare F1-F2

Curva di correlazione normalizzata calcolata per un segnale di rumore in banda 1000-7000 Hz

La funzione di correlazione normalizzata di un segnale ad andamento casuale, contenuto entro la banda di frequenze rettangolare compresa tra $F 1 e F 2$ è data dall'integrale, nel campo della frequenza, della funzione di correlazione $\cos ω τ$ del segnale sinusoidale^[6]:

$C (τ) = \int_{F 1}^{F 2} [\cos ω τ] d f$ sviluppando si ha:

$C (τ) = [\frac{\sin (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) \cdot \cos (2 \cdot π \cdot F o \cdot τ)}{(2 \cdot π \cdot D F \cdot τ)}]$ 5)

per $D F = (F 2 - F 1) / 2 e F o = (F 2 + F 1) / 2$

La 5) è indicata come funzione di correlazione tra segnali di rumore in banda F1-F2

L'andamento della $C (τ)$ nell'ipotesi di $F 1 = 7000 H z e F 2 = 10000 H z$ con

$D F = (10000 H z - 7000 H z) / 2 = 1500 H z e F o = (10000 H z + 7000 H z) / 2 = 8500 H z$

è riportato nel grafico di figura.

La curva mostra che la $C (τ)$ è formata da un'onda a periodo relativamente elevato modulata da un'onda a periodo più basso; la prima dovuta al termine $\cos (2 \cdot π \cdot F o \cdot τ)$

la seconda dovuta al termine $\sin (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) / (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ)$

Osservazioni

Dal tracciato si possono misurare i valori di $τ$ in cui si azzera la $C (τ)$ che definiscono i passaggi per l'asse delle ascisse della funzione del tempo che mostra l'oscillazione a frequenza maggiore; il primo zero si evidenzia per $τ = 29.4 μ s$ , il secondo a $τ = 88.2 μ s$ , e così via secondo la legge del coseno, la cui espressione è parte della 5).

Si hanno infatti gli zeri della 5) per tutti i valori di $τ$ che soddisfano alla relazione: $\cos (2 \cdot π \cdot F o \cdot τ) = 0$ , cioè per $2 \cdot π \cdot F o \cdot τ = n \cdot π / 2$ , dove $n$ è un intero dispari; caratteristico è il primo zero che si trova per $n = 1$ a $τ = 1 / (4 \cdot F o) = 1 / (4 \cdot 8500) = 29.4 μ s$ come abbiamo rilevato nel grafico.

Sempre nel tracciato si possono rilevare i valori in cui si azzera la $C (τ)$ che costituiscono la parte caratteristica del termine "modulante" della 5): $\sin (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) = 0$ cioè per $(2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) = n \cdot π$ dove $n$ è un intero; caratteristico è il primo zero che si trova per $n = 1$ $τ = 1 / (2 \cdot D F) = 1 / 3000 = 333.333 μ s$

Il calcolo delle funzioni di correlazione in banda rettangolare di rumore può essere sviluppato anche per bande non rettangolari seguendo un processo di calcolo estremamente complesso ^[7]

.

Tavola nº4: Segnali casuali limitati in ampiezza in banda rettangolare F1-F2

Curva di correlazione normalizzata calcolata per un segnale di rumore limitato d'ampiezza in banda 0-2500 Hz

Le funzioni di correlazione illustrate nelle tavole precedenti mostrano il legame di interdipendenza tra segnali a carattere analogico; si deve a Van Vleck^[8] la loro trasformazione nel caso in cui i segnali non siano del tipo analogico ma limitati in ampiezza.^[9]

Van Vleck trasforma gli algoritmi trigonometrici in ciclometrici secondo i prospetto^{[N 8]}:

$C (τ) = \cos ω τ$ 3) $⇓$

$C (τ) x = (2 / π) \arcsin \cos (ω τ)$ 6)

$C (τ) = [\frac{\sin (2 \cdot π \cdot F \cdot τ))}{(2 \cdot π \cdot F \cdot τ)}]$ 4). $⇓$

$C (τ) x = (2 / π) \arcsin [\sin (2 π \cdot F 1 \cdot τ) / (2 π \cdot F 1 \cdot τ)]$ 7)

$C (τ) = [\frac{\sin (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) \cdot \cos (2 \cdot π \cdot F o \cdot τ)}{(2 \cdot π \cdot D F \cdot τ)}]$ 5) $⇓$

$C (τ) x = (2 / π) \cdot \arcsin [\frac{\sin (2 \cdot π \cdot D F \cdot τ) \cdot \cos (2 \cdot π \cdot F o \cdot τ)}{(2 \cdot π \cdot D F \cdot τ)}]$ 8)

In figura l'applicazione della 7) calcolata nella banda $0 - 2500 H z$

L’effetto del rumore nei processi di correlazione

Tavola nº 5: Rumore in uscita nel correlatore analogico

Vista oscilloscopica di rumore in uscita da un correlatore analogico

Il correlatore analogico^[10] è un dispositivo tecnico studiato per ricavare le curve delle funzioni di correlazione nei casi esposti nella Tavole 1; 2; 3.

La valutazione del livello di rumore in uscita dal correlatore si ottiene impiegando l'algoritmo^[11]:

$N u = \sqrt{[(S i^{2} + N i^{2})^{2} + S i^{4}] / [4 R C (F 2 - F 1)]}$ 9)

le variabili:

$S i$ = ampiezza dei segnali d'ingresso al correlatore

$N i$ = ampiezza dei rumori d'ingresso al correlatore

$R C$ = costante d'integrazione del correlatore

$F 2 - F 1$ = limiti della banda dei segnali Template:Clear

Tavola nº 6: Rumore in uscita del correlatore digitale

Vista oscilloscopica di una funzione di correlazione digitale inquinata dal rumore

Il correlatore digitale^[12] è un dispositivo tecnico studiato per ricavare le curve delle funzioni di correlazione nel caso esposto nella Tavola 4.

La valutazione del livello di rumore in uscita si ottiene impiegando l'algoritmo ^[13]:

$N u x = [\frac{V a l .}{π \cdot \sqrt{(6 / 7) \cdot 4 \cdot R C \cdot (F 2 - F 1)}}]$ 10)

per calcolare $N u x$ in volt efficaci devono essere:

$R C$ = costante di tempo d'integrazione in secondi

$F 2 - F 1$ = Larghezza di banda dei filtri di precorrelazione in Hertz

$V a l .$ = Tensione di alimentazione del correlatore in Vc.c.

Esempio di calcolo di $N u x$

Siano dati:

$F 1 = 6000 H z$

$F 2 = 9000 H z$

$R C = 1 s$

$V a l . = 15 V$

si ha:

$N u x = [\frac{15}{π \cdot \sqrt{(6 / 7) \cdot 4 \cdot 1 \cdot (9000 - 6000)}}] = 47 m V$ efficaci.

Note

Annotazioni

↑ Se l'insieme dei correlatori fa parte di un sonar si può dire che il picco di correlazione, su di una direzione, emerge dal rumore presente in tutte le altre direzioni
↑ Il concetto generale di correlazione è comune a tutte le scienze, perché in tutte le scienze si possono introdurre criteri statistici. Correlazione è la dipendenza reciproca fra due grandezze, le curve di correlazione ne rappresentano l'andamento in funzione di una variabile. Si ha correlazione elevata quando a determinati valori di una grandezza corrispondono determinati valori dell'altra grandezza e correlazione nulla quando a determinati valori della prima non corrispondono valori qualsiasi della seconda. La interdipendenza potrà essere, nei casi più semplici, di proporzionalità diretta o inversa, ma anche assai più complessa.
↑ Il segno di approssimazione $\approx$ è dovuto dall'assunzione che il tempo d'integrazione To sia finito
↑ La normalizzazione limita l' ampiezza della $C (τ)$ entro $+ 1 - 1$
↑ intendendo che tra i due segnali non esiste alcun legame di interdipendenza
↑ In questo contesto per segnali casuali s'intendono quelli formati da un ampio spettro di frequenze indipendenti l'una dall'altra (genericamente definiti segnali di rumore)
↑ Il profilo della funzione di correlazione può essere modificato, ad arte, ponendo valori di frequenza maggiori od inferiori per ottenere rispettivamente curve più strette o più larghe sulla base dell'impiego dell'algoritmo
↑ Le funzioni di correlazione ciclometriche sono indicate con il simbolo $C (τ) x$ per diversificarle dalle trigonometriche.

Fonti

Bibliografia

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Collegamenti esterni

N° FASCI Selenia

Sonar FALCON

Schemi sonar FALCON

Testo discorsivo sul sonar

Testo tecnico sulla Correlazione

[1] Se l'insieme dei correlatori fa parte di un sonar si può dire che il picco di correlazione, su di una direzione, emerge dal rumore presente in tutte le altre direzioni

[4] Il concetto generale di correlazione è comune a tutte le scienze, perché in tutte le scienze si possono introdurre criteri statistici. Correlazione è la dipendenza reciproca fra due grandezze, le curve di correlazione ne rappresentano l'andamento in funzione di una variabile. Si ha correlazione elevata quando a determinati valori di una grandezza corrispondono determinati valori dell'altra grandezza e correlazione nulla quando a determinati valori della prima non corrispondono valori qualsiasi della seconda. La interdipendenza potrà essere, nei casi più semplici, di proporzionalità diretta o inversa, ma anche assai più complessa.

[6] Il segno di approssimazione $\approx$ è dovuto dall'assunzione che il tempo d'integrazione To sia finito

[7] La normalizzazione limita l' ampiezza della $C (τ)$ entro $+ 1 - 1$

[8] tendendo che tra i due segnali non esiste alcun legame di interdipendenza

[9] In questo contesto per segnali casuali s'intendono quelli formati da un ampio spettro di frequenze indipendenti l'una dall'altra (genericamente definiti segnali di rumore)

[12] Il profilo della funzione di correlazione può essere modificato, ad arte, ponendo valori di frequenza maggiori od inferiori per ottenere rispettivamente curve più strette o più larghe sulla base dell'impiego dell'algoritmo

[17] Le funzioni di correlazione ciclometriche sono indicate con il simbolo $C (τ) x$ per diversificarle dalle trigonometriche.

[2] Template:Cita.

[3] Template:Cita.

[5] Template:Cita.

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