Teorema del confronto, di Cauchy

Alcuni importanti teoremi

Teorema (del confronto per funzioni)

In altre parole, è come se le due funzioni $f$ e $g$ "intrappolassero" $h$.

Dimostrazione

Poniamo $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\lambda$.
Se $\lambda =\pm \mathrm{\infty }$, abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece $\lambda \in ℝ$, utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora $(x_n)$ una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x_0$. Allora

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\lambda$ e

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x_n)=\lambda$.

Poiché la successione converge a $x_0$, $x_n\in (A\setminus \{x_0\})\cap H,\mathrm{\forall }n>m\in \mathbb{N}$ (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale).
Allora, per come è definito il teorema, si ha

$f(x_n)\le h(x_n)\le g(x_n),\mathrm{\forall }n>m$

Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che $h(x_n)\to \lambda$ per $n\to +\mathrm{\infty }$ e per il Lemma iniziale e poiché $(x_n)$ è una arbitraria successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente ad $x_0$ abbiamo

$\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=\lambda$

$◻$

Teorema (di Cauchy)

Template:Riquadro In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo per ipotesi che esista il limite di $f(x)$ e che sia $\lambda$ questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:|f(x)-\lambda |<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$.

Ora, per ogni $x,y\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$ si ha

$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-\lambda |+|\lambda -f(y)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

che è proprio la seconda affermazione.

$\Leftarrow )$ . Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x_0$ che chiamiamo, con grande fantasia, $(x_n)$.
Per ipotesi si ha che

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:|f(x)-f(y)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x,y\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$

$◻$

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