Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital

Test di monotonia

Dimostrazione

i) Siano $x_1,x_2\in I$ con $x_1<x_2$. Per provare che $f$ è costante, dobbiamo far vedere che $f(x_1)=f(x_2)$ e data l'arbitrarietà dei due punti, ne deduciamo che $f$ è costante su tutto $I$. Prendiamo l'intervallo $[x_1,x_2]\subseteq I$, che essendo un sottoinsieme di un intervallo derivabile, è anch'esso derivabile e dunque $f$ è continua su $[x_1,x_2]$. Possiamo dunque applicare il Teorema del valor medio, attraverso il quale sappiamo che esiste un punto $x\in ]x_1,x_2[$ tale che $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(x)(x_2-x_1)$. Per ipotesi però $f^{\prime }(x)=0$ in ogni punto dell'intervallo, dunque $f(x_2)-f(x_1)=0\iff f(x_2)=f(x_1)$.

ii) (Come precedente) -- $f^{\prime }(x)\ge 0$ in ogni punto dell'intervallo, dunque $f(x_2)-f(x_1)\ge 0\iff f(x_2)\ge f(x_1)$.

Teorema di Darboux

Se la Funzione F è definita e continua nell' intervallo [a,b] chiuso e limitato , allora la funzione assumerà ,almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo della funzione.

Teoremi di de l'Hôpital

Introduzione

I teoremi di de l'Hôpital costituiscono una condizione sufficiente ma non necessaria perché esista $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$=$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ (dove f'(x) e g'(x) sono le derivate di f(x) e g(x)) e permettono di risolvere alcune forme indeterminate (f.i.). Più precisamente il 1° Teorema di de l'Hôpital permette di risolvere la f.i. $\frac{0}{0}$, mentre il 2° risolve la f.i. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. In ogni caso è possibile utilizzarle anche per tutte le altre f.i., purché ricondotte alle f.i. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ e $\frac{0}{0}$. Premesso ciò, si procede all'enunciazione dei teoremi.

Primo Teorema di de l'Hôpital (f.i. $\frac{0}{0}$)

Template:Riquadro N.B.: Questo teorema è applicabile anche se $x\to \mathrm{\infty }$. In tal caso dovrà esistere un punto $x_0\in ]a,b[:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0$.

Esempio di applicazione del 1° T. di de l'Hôpital

Si consideri $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{senx}{x+senx}$. Esso rappresenta una f.i. $\frac{0}{0}$. Derivando numeratore e denominatore (ponendo attenzione nel derivarli separatamente, e non considerando tutto il termine come quoziente derivandolo, erroneamente, secondo la regola specifica per questo caso) allora esso sarà uguale a $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{cosx}{1+cosx}=\frac{1}{2}$.

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Secondo Teorema di de l'Hôpital (f.i. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$)

Template:Riquadro N.B.: Questo teorema è applicabile anche se $x\to \mathrm{\infty }$.

Esempio di applicazione del 2° T. di de l'Hôpital

Si consideri $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x}$. Esso rappresenta una f.i. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Derivando numeratore e denominatore (sempre separatamente) allora esso sarà uguale a $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$.