Trasformazione di variabili casuali

Template:Risorsa Consideriamo due casi:

• date $X$, una variabile casuale, e $Y=g(X)$, con $g(\cdot )$ opportuna, bisognerà caratterizzare la nuova variabile casuale $Y$, cioè calcolarne $F_Y$ e $f_Y$.
• date $X$ e $Y$ variabili casuali, bisognerà calcolare la $g(\cdot )$ opportuna in modo tale che $Y=g(X)$.

Cominciamo con definire i requisiti della trasformazione $g(\cdot )$ in modo tale da ottenere ancora una variabile casuale. Si consideri una variabile casuale n-dimensionale $X$ definita su uno spazio di probabilità $\{\mathrm{\Omega },F,P\}$ con

$X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$

misurabile da $(\mathrm{\Omega },F)$ a $({ℝ}^n,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^n))$. Sia $g(\cdot ):{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ una funzione misurabile da $({ℝ}^n,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^n))$ a $({ℝ}^m,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^m))$, detta funzione di Borel; definiamo

$Y=g(X)$

dove

$Y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$

tale che

$Y(s)=g(X(s))\mathrm{\forall }s\in \mathrm{\Omega }$

Noi vedremo trasformazioni di tipo $1\to 1$, $2\to 2$ e $2\to 1$.

Trasformazioni di tipo $1\to 1$

Calcolo della densità di probabilità

Vediamo un metodo che permette di calcolare la densità di probabilità di una variabile casuale $Y$ ottenuta dalla trasformazione

$Y=g(X)$

con $X$ variabile casuale e $g(\cdot )$ funzione misurabile.

Con variabili casuali discrete

Sia $X$ una variabile casuale discreta, con

$f_X(x)=\sum _i{p}_i\delta (x-x_i)$

Allora, dato che $y=g(x)$, si ha

$f_Y=\sum _i{p}_i\delta (y-g(x_i))$

Può darsi che due $x_i$ vadano nella stessa $y_i=g(x_i)$, quindi si possono anche ottenere meno valori possibili, nella $Y$.

Con variabili casuali continue

Sia $X$ una variabile casuale continua con $f_X(x)$ continua. Sia $g(X)$ continua e derivabile. Consideriamo tutta la probabilità nell'intervallo $(a,b)$:

$P(a<x<b)=1$

Identifichiamo vari sottocasi:

$g(\cdot )$ monotona crescente

Se $g(\cdot )$ è monotona crescente, allora ci interessano i valori di probabilità in $(a,x]$.

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(a<X\le x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha$

Si definisce la funzione

$x=\psi (y)=g^{-1}(y)$

inversa di $g(\cdot )$. Allora,

$F_Y(y)=\underset{a}{\overset{\psi (y)}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha$.

Sappiamo che

$f_Y(y)=\frac{d{F}_Y(y)}{dy}=f_X(\psi (y))\cdot \frac{d\psi (y)}{dy}$

dove

$\frac{d\psi (y)}{dy}={[\frac{dg}{dx}\cdot [g^{-1}(y)]]}^{-1}$

che è la derivata inversa, che coincide con l'inversa della derivata, calcolata in $g^{-1}(y)$. Quindi, abbiamo ottenuto

$f_Y(y)=\frac{f_X(g^{-1}(y))}{\frac{dg}{dx}(g^{-1}(y))}$

$g(\cdot )$ monotona decrescente

Nel caso in cui $g(\cdot )$ è decrescente, ci interessa il supporto $[x,b)$. Si ha

$F_Y(y)=\underset{g^{-1}(y)}{\overset{b}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha =\cdots \Rightarrow f_Y(y)=-f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{1}{\frac{dg}{dx}(g^{-1}(y))}$

$g(\cdot )$ monotona

In generale, se $g(\cdot )$ è monotona, si ha

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{1}{\left|\frac{dg}{dx}(g^{-1}(y))\right|}$

Questa è l'espressione generale per le funzioni di tipo monotono. Si ha che $f_Y=0$ se

$Y\in ̸\text{ codominio di }g(\cdot )$

$g(\cdot )$ non monotona

Ipotizziamo che sia possibile partizionare $(a,b)$ in un numero finito di sottointervalli $(x_i,x_{i+1})$ in cui $g(\cdot )$ è monotona (crescente o decrescente che sia). Allora,

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X\in {\mathrm{\Delta }}_1)+P(X\in {\mathrm{\Delta }}_2)+\cdots$

dove

$P(X\in {\mathrm{\Delta }}_1)=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha$

$P(X\in {\mathrm{\Delta }}_2)=\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha$

Derivando in $dy$, si ha

$\frac{d}{dy}(\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha +\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha )$

da cui si ottiene

$\frac{d}{dy}(\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{f}_X(\alpha )d\alpha )=f_X(x_2(y))\cdot \frac{1}{\frac{dg(x_i)}{dx}}-f_X(x_1(y))\cdot \frac{1}{\frac{dg(x_1(y))}{dx}}$

da cui si ha la formula fondamentale (da ricordare)

$F_Y(y)=\sum _{i=1}^N\frac{f_X(x_i)}{\frac{dg(x_i)}{dx}}$

Questa è la formula più generale, dove

$N=|\{g^{-1}(y)\}|$

cioè il numero di risultati restituiti da $g^{-1}(y)$.

Trasformazioni di tipo $2\to 2$

Abbiamo un vettore di variabili casuali in partenza e vogliamo avere un vettore anche per la destinazione,

$\{\begin{array}{c}{Y}_1=g_1(X_1,X_2)\\ Y_2=g_2(X_1,X_2)\end{array}$

Siano le $g_i(\cdot )$ continue e derivabili, per cui esistono le derivate parziali

$\mathrm{\exists }\frac{\partial g_1}{\partial x_i},\frac{\partial x_2}{\partial x_i}$

Consideriamo l'intervallo

$(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)$

che contiene tutta la probabilità

$P((x_1,x_2)\in (a_1,b_1)\times (a_2,b_2))=1$

Se $\mathrm{\exists }{g}^{-1}(\overline{y})$, allora

$f_Y(y_1,y_2)=0$

Supponiamo che esista una partizione di $(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)$ all'interno della quale le $g_i(\cdot )$ siano monotone nei sottointervalli individuati. Siano le $(x_{1i},x_{2i}),i=1,2,\cdots ,n$ tali che

$\{y_1=g_1(x_{1i},x_{2i}),y_2=g_2(x_{1i},x_{2i}),i=1,2,\cdots ,n$

Con tutte queste premesse, si ha la funzione di densità di probabilità congiunta

$f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=\sum _{i=1}^N\frac{f_{X_1,X_2}(x_{1i},x_{2i})}{|\det [J_g(x_{1i},x_{2i})]|}$

dove $J_g$ è lo jacobiano

$J_g(x_1,x_2)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial g_1}{\partial x_1}& \frac{\partial g_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1}& \frac{\partial g_2}{\partial x_2}\end{array}\right](x_1,x_2)$

Trasformazioni di tipo $2\to 1$

Siano $X_1,X_2$ due variabili casuali con densità di probabilità congiunta

$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)$

continua e definita su $\{\mathrm{\Omega },F,P\}$. Sia

$g:{ℝ}^2\to ℝ$

una funzione misurabile continua e derivabile. Data la variabile casuale

$Z=g(X_1,X_2)$

qual è la sua distribuzione $f_Z(z)$?

Primo metodo, somma di variabili casuali

Si ha

$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X_1,X_2)\le z)=P((X_1,X_2)\in D_Z)$

dove

$D_Z=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2|g(X_1,X_2)\le z\}$

Si ha

$F_Z(z)=\underset{D_Z}{\iint }{f}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2$

Partendo da qui, si può derivare per ottenere la funzione di densità di probabilità $f_Z(z)$.

Metodo 2, variabile ausiliaria

Si aggiunge una variabile casuale ausiliaria in modo da portare la trasformazione in una $2\to 2$:

$\{\begin{array}{c}Y=g(X_1,X_2)\\ Z=h(X_1,X_2)& \text{ variabile casuale ausiliaria }\end{array}$

Si applica a questo punto la tecnica risolutiva per le trasformazioni $2\to 2$ ed otteniamo $f_{Y,Z}(y,z)$

In alternativa, si determina $f_Y(y)$ integrando la $f_{YZ}(y,z)$ rispetto a $Z$,

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{YZ}(y,\alpha )d\alpha$

Osservazione: il secondo metodo è più semplice da utilizzare rispetto al primo, a patto che si scelga la variabile ausiliaria migliore possibile.

Determinazione di $g()$

Sia data una variabile casuale $X$ con distribuzione $F_X(x)$. Determinare la funzione

$g:ℝ\to ℝ$

tale che la

$Y=g(X)$

abbia la distribuzione assegnata $F_Y(y)$.

La soluzione di questo problema si articola in due passi:

1. passaggio dalla $F_X(x)$ monotona alla variabile casuale $U$ uniforme in $(0,1)$
2. passaggio da $U$ alla variabile casuale $Y$ con $F_Y(y)$ monotona.

Con uno schema a blocchi:

Si verifica che:

• $U=F_X(x)$ è uniforme.

Infatti, si ha

$F_U(u)=P(U\le u)=P(F_X(x)\le u)=P(X\le x)=U$

• $Y=F_Y^{-1}(u)$

Infatti, si ha

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(F_Y^{-1}(u)\le y)=P(U\le F_Y(y))=F_U(F_Y(y))=F_Y(y)$

Indipendenza tra variabili casuali

Osservazione: abbiamo fatto trasformazioni $1\to 1$, in cui si mantiene l'indipendenza.