Valor medio di una variabile casuale

Il valor medio di una variabile casuale, anche detto valore atteso, media teorica o speranza matematica è definito in questo modo:

Proprietà

Proprietà 1. Se $Y=h(X)$, con $X$ variabile casuale nota, vale:$$E[Y]=E[h(X)]=\{\begin{array}{c}\sum _{k=1}^{n}h(x_k)\cdot p(x_k)\text{se }X\text{ discreta, }X\in \{x_1,...x_n\}\\ \underset{ℝ}{\int }h(x)\cdot f(x)dx\text{se }X\text{ continua}\end{array}$$

Proprietà 2. Caso particolare della 1. Se $Y=\alpha X+\beta$, con $\alpha \in ℝ,\beta \in ℝ$

$$E[Y]=\alpha E[X]+\beta$$

Proprietà 3. Se $Z=g(X,Y)$, con $X,Y$ variabili casuale note, vale:

$$E[Z]=\{\begin{array}{c}\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^{n}g(x_k,y_j)\cdot p(x_k,y_j)\text{se }X,y\text{ discrete}\\ \underset{{ℝ}^{\mathrm{𝟚}}}{\iint }g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy\text{se }X,Y\text{ continue}\end{array}$$

Proprietà 4. Date $X,Y$ variabili casuali, vale: $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

Valor medio di una Bernoulliana

$X\sim Be(p)$

$X=\{\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}$

$p(1)=p$

$p(0)=1-p=q$

$$E[x]=\sum _{k=1}^m{x}_{k}p(x_k)=0\cdot p(0)+1\cdot p(1)=1\cdot p=p$$

Momento $n$-esimo di una variabile casuale

Template:Matematica voce $0\text{-esimo momento}=1$

$1\text{ momento}=E[X]$

Il valor medio è definito come il primo momento.