Valutazioni numeriche sul disturbo nei correlatori digitali.

Nella prima lezione di questa materia abbiamo preso in esame il comportamento delle $C(\tau )x1,2$ in presenza di rumore che inquina il segnale, l'esame è stato condotto analizzando l'algoritmo sotto indicato:

$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin K\cdot \left\{\frac{\sin [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}\right\}$ 1)

dove $K$ è una variabile dipendente dal rapporto tra l'ampiezza del segnale $si$ e l'ampiezza del disturbo $ni$ secondo la 2)

$K=\left[\frac{1}{1+(ni/si{)}^2}\right]$ 2)

con $niesi$ espressi come numeri decimali.

Dai valori di C(tao)x 1,2 normalizzati alla tensione Sux all'uscita del correlatore

L'analisi della 1) ha portato, come esempio dell'effetto del rumore sul segnale, alla serie di curve della $C(\tau )x1,2$ che riportiamo in figura 1:

figura 1

Le curve sono normalizzate e la loro ampiezza è indipendente dalle caratteristiche tecniche del correlatore contrariamente alle curve mostrate nella 3^ lezione della materia I correlatori digitali.

Nella citata lezione si mostrava l'andamento di una $C(\tau )x1,2$ relativa ad un ben specificato correlatore alimentato con una tensione continua $Val.=+5V$; la curva in oggetto è riportata in figura 2:

figura 2

In questo caso specifico l'algoritmo per il calcolo della $C(\tau )x1,2$ è dato dalla 1) modificata con l'inserzione di $Val.$ così come mostra la 3):

$C(\tau )x1,2=(Val./\pi )\arcsin K\cdot \left\{\frac{\sin [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}\right\}$ 3).

Per $\tau =\tau *$ si può riscrivere la 3 sostituendo l'indicazione $C(\tau )x1,2$ con $Sux$:

$Sux=(Val./\pi )\arcsin K$ 3a).

dove $K=\left[\frac{1}{1+(ni/si{)}^2}\right]$

Esempio di calcolo di $Sux$

Dati:

$si=10mv.eff$

$ni=10mv.eff$

$Val.=15V$ si ha:

$K=\left[\frac{1}{1+(10/10{)}^2}\right]=0.5$

$Sux=(15/\pi )\arcsin 0.5=2.5V.cc$

Valutazioni numeriche sulle curve di figura 1

Se consideriamo ora le curve di figura 1 come generate da un correlatore alimentato con $Val.=+5V$ i valori massimi delle curve potranno leggersi come tensioni elettriche continue $Sux$ ai seguenti livelli rapportati al valore massimo $1$ corrispondente a $2.5V.$

Secondo figura 1, con $niesi$ espressi come numeri decimali, si ha:

Per $si=1;sn=0$: $ℂ(\tau )x1,2$ = 1 : $Sux=2.5V$

Per $si=10;ni=1(20dB)$ $C(\tau )x1,2$ = .9 : $Sux=2.25V$

Per $si=3.3;ni=1(10dB)$ $C(\tau )x1,2$ = .7 : $Sux=1.55V$

Per $si=1;ni=1(0dB)$ $C(\tau )x1,2$ = .33 : $Sux=0.82V$

Per $si=0.5;ni=1(-6dB)$ $C(\tau )x1,2$ = .15 : $Sux=0.37V$

Considerazioni tecniche sulle tensioni Sux e la varianza Nux

Le variazioni delle tensioni $Sux$ in uscita dal correlatore mostrano come l'incremento del livello del disturbo riduca le loro ampiezze, ampiezze che possono scendere anche a livelli estremamente piccoli tali da non potersi facilmente rilevare.

A questo punto si potrebbe pensare come amplificare le $Sux$ in modo da poterle rilevare con precisione a qualsiasi livello queste si manifestino.

Purtroppo tale operazione non è fattibile dato che, all'uscita del correlatore, oltre la $Sux$ è presente, sovrapposta ad essa, una tensione alternata la cui ampiezza è indipendente dal rapporto $si/ni$, detta tensione indicata come varianza $Nux$ verrebbe amplificata con la $Sux$ lasciando di fatto l'iniziale difficoltà a rilevare piccoli valori di $Sux$.

La valutazione di questa nuova variabile è subordinata sia alla banda dei filtri d'ingresso del correlatore sia al valore della costante di tempo dell'integratore componenti visibili, evidenziati in grigio, nello schema a blocchi di figura 3:

figura 3

Il valore di $Nux$, si calcola con l'espressione

$Nux=\left[\frac{Val.}{\pi \cdot \sqrt{(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (F2-F1)}}\right]$

dove:

per $Nux$ espresso in volt efficaci devono essere:

$RC$ = costante di tempo d'integrazione in secondi

$F2-F1$ = Larghezza di banda dei filtri di precorrelazione in Hertz

Esempio di calcolo di $Nux$

Siano dati:

$F1=6000Hz$

$F2=9000Hz$

$RC=1s$

$Val.=15V$

si ha:

$Nux=\left[\frac{15}{\pi \cdot \sqrt{(6/7)\cdot 4\cdot 1\cdot (9000-6000)}}\right]=47mV$ efficaci.

Il rapporto Sux/ Nux all'uscita dell'integratore

Il rapporto $Sux/Nux$ rappresenta il rapporto segnale/disturbo all'uscita del correlatore ed è calcolabile con l'espressione:

$Sux/Nux=(\arcsin K)\cdot \sqrt{(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (F2-F1)}$

Algoritmo valido per piccoli rapporti $si/ni$ con $niesi$ espressi come numeri decimali.

Esempio di calcolo di $Sux/Nux$

Dati:

$si=10mV.eff$

$ni=10mV.eff$

$F1=6000Hz$

$F2=9000Hz$

$RC=1s$

si ha:

$K=\left[\frac{1}{1+(10/10{)}^2}\right]=0.5$

$Sux/Nux=(\arcsin 0.5)\cdot \sqrt{(6/7)\cdot 4\cdot 1\cdot (9000-6000)}=53$

In termini logaritmici :

$(Sux/Nux)dB=20\cdot lo{g}_{10}53\approx 35dB$

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993