Variabili casuali

Template:W Template:Risorsa Le variabili casuali sono funzioni che permettono di associare un numero al risultato di un esperimento. Questo viene fatto per riportare tutto in uno spazio matematico, in cui poter usare tutti gli strumenti matematici noti.

Un boreliano $B\in 𝔹(ℝ)$ è ad esempio un insieme della forma $(a,b],[a,b],(a,b)$ con $a<b$. La condizione di misurabilità

$\{s\in \mathrm{\Omega }t.c.X(s)\in B^{\prime }\}\in F\mathrm{\forall }{B}^{\prime }\in 𝔹(ℝ)$

consente di attribuire una probabilità agli eventi specificati dai valori assunti dalla variabile casuale.

Questo perché $X\le b$ va inteso come

$\{s\in \mathrm{\Omega }|X(s)\le b\}$

e la condizione di misurabilità di $X$ sommato al fatto che $(-\mathrm{\infty },b]$ è un boreliano assicurano che $\{s\in \mathrm{\Omega }|X(s)\le b\}$ sia un evento in $F$. Allora, si potrà scrivere che

$P(X\le b)\widehat{=}P(\{s\in \mathrm{\Omega }t.c.X(s)\in (-\mathrm{\infty },b]\})$

Questo è ben definito, perché

• $P:F\to [0,1]$
• $A\in F$.

Se la funzione misurabile è effettivamente una variabile casuale, per ogni evento nello spazio di arrivo possiamo trovare una controimmagine nello spazio di probabilità originario. Nella controimmagine $A$ abbiamo definito la probabilità, quindi è possibile trovare sempre un valore di probabilità associato al valore della variabile casuale e viceversa. Quello che non deve succedere è che, tornando indietro, venga generata una controimmagine che non appartiene ad $F$.

Funzione indicatrice

Verifichiamo che $X$ è una variabile casuale.

Consideriamo il generico boreliano $B^{\prime }\in 𝔹(ℝ)$ e determiniamo la controimmagine data da $\{s\in \mathrm{\Omega }|X(s)\in B^{\prime }\}$. Graficamente...

Fig.2 - Funzione indicatrice

Avremo che

$B=\{s\in \mathrm{\Omega }t.c.X(s)\in B^{\prime }\}=\{\begin{array}{cc}A& 0\in ̸B,1\in B^{\prime }\\ \overline{A}& 0\in B^{\prime },1\in ̸B^{\prime }\\ \varnothing & 0,1\in ̸B^{\prime }\\ \mathrm{\Omega }& 0,1\in B^{\prime }\end{array}$

$X(s)$ è indicata anche come $I_A(s)$ ed è detta funzione indicatrice dell'evento A.

A conclusione di questo, dato che

$B\in F\mathrm{\forall }{B}^{\prime }\in F^{\prime }$

allora $I_A(\cdot )$ è una variabile casuale.

Notare che l'immagine di $\mathrm{\Omega }$ attraverso $I_A(\cdot )$ è un insieme finito, quindi $X$ è una variabile casuale discreta.

Come si può verificare che $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ definita su uno spazio di probabilità sia una variabile casuale? La verifica basata sulla definizione appena vista è onerosa, perché bisogna considerare tutti i boreliani $B^{\prime }\in 𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}$ e calcolare le controimmagini attraverso $X$, verificando che appartengano a $F$. Il seguente lemma permette di restringere la verifica ad un sottoinsieme di boreliani.

Se uno spazio è discreto, basta definire le probabilità sugli eventi elementari della $\sigma$-algebra. Se $\mathrm{\Omega }$ è continuo, è impossibile definire le probabilità per ogni elemento della $\sigma$-algebra. Avevamo definito una probabilità su un'algebra che ci permette di generare la $\sigma$-algebra di interesse, in modo tale da estendere la misura di probabilità alla $\sigma$-algebra. La stessa cosa accade qui: andiamo a trovare la controimmagine per un sottoinsieme di boreliani, e possiamo poi estendere a tutti gli eventi che sono nell'insieme boreliano. È la stessa cosa. Usiamo la funzione X per generare il nostro sottoinsieme di eventi, verifichiamo che esistano le controimmagini sul sottoinsieme definito ed abbiamo finito.

Abbiamo visto che $𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}$ può essere costruita come la più piccola $\sigma$-algebra che contiene insiemi del tipo $(-\mathrm{\infty },b]\in ℝ$. Dati quindi $\{\mathrm{\Omega },F,P\}$ e $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, $X$ è una variabile casuale se

$\{s\in \mathrm{\Omega }t.c.X(s)\le b\}\in F\mathrm{\forall }b\in ℝ$

Fig.4 - B(R)

Se abbiamo una variabile casuale n-dimensionale, allora abbiamo n variabili casuali e viceversa. Questo non vuol dire che se abbiamo la densità congiunta di due variabili casuali possiamo verificare l'indipendenza: bisogna prima calcolare le marginali e lavorare su quelle.

Distribuzioni delle variabili casuali

Nella maggior parte dei casi la $F_X$ si definisce direttamente nella definizione di variabile casuale.

La distribuzione di probabilità $F_X$ soddisfa le seguenti proprietà:

1. $F_X$ è non decrescente
2. $F_X(-\mathrm{\infty })=\underset{\alpha \to -\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(\alpha )=0$
3. $F_X(\mathrm{\infty })=\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(\alpha )=1$
4. $F_X({\alpha }^{+})=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }{F}_X(\alpha +ϵ)=F_X(\alpha )\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$, cioè $F_X$ è continua a destra;
5. $F_X$ ammette limite sinistro, ossia

$\mathrm{\exists }\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }{F}_X(\alpha -ϵ)=F_X({\alpha }^{-})$

Tutte le funzioni che soddisfano queste proprietà sono funzioni di distribuzione della variabile casuale $X$.

Abbiamo visto che ad ogni funzione di distribuzione $F_X$ su $ℝ$ è associata una ed una sola misura di probabilità $P$ che soddisfa $P\left((a,b)\right)=F(b)-F(a)$. Per estensione, indichiamo con $P_X$ la misura di probabilità associata alla $F_X$,

$P_X:𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}\to [0,1]$

è la misura di probabilità su $(ℝ,𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)})$ tale che

• $P_X((a,b])=F_X(b)-F_X(a)$
• $P_X((-a,b))=F_X(b)$

Proprietà di $P_X$ e $F_X$:

• $P_X\left(\left\{a\right\}\right)=F_X(a)-F_X(a^{-})$
• $P_X\left([a,b]\right)=F_X(b)-F_X(a^{-})$
• $P_X\left((a,b)\right)=F_X(b^{-})-F_X(a)$
• $P_X\left([a,b)\right)=F_X(b^{-})-F_X(a^{-})$

Consideriamo l'evento

• $B\in 𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}$
• $P(X\in B)=P(\{s\in \mathrm{\Omega }|X(s)\in B\})=\underset{B}{\int }f(\alpha )d\alpha$

Solitamente, si caratterizza la variabile casuale X indicando la densità di probabilità.

In questo caso conviene introdurre

• $\mathrm{\Omega }=\{x_1,x_2\}$
• $F=2^{\mathrm{\Omega }}$
• $P(\{x_i\})=P_i$

Consideriamo lo spazio $\{\mathrm{\Omega },F,P\}$ e definiamo la funzione

$X:\mathrm{\Omega }\to ℝ|X(s)=s\mathrm{\forall }s\in \mathrm{\Omega }$

$X$ è una variabile casuale discreta con funzione di distribuzione

• $F_X=F$
• $P(x=x_i)=P_i$

A questo punto, possiamo scrivere che

$\begin{array}{cc}{F}_X(\alpha )& =P(x\le \alpha )\\ & =P(\{s\in \mathrm{\Omega }|X(s)\le \alpha \})\\ & =P(\{s\in \mathrm{\Omega }|s\le \alpha \})\\ & =\{\begin{array}{cc}{P}_1+P_2& \alpha >x_2\\ P_1& x_1\le \alpha <x_2\\ 0& \alpha <x_1\end{array}\\ & =\sum _{i:x_i\le \alpha }{P}_i\end{array}$

Variabili casuali notevoli continue

Esponenziale di parametro $\lambda >0$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& \mathrm{\forall }x\le 0\\ 0& \text{altrove}\end{array}\lambda >0$

> x1=[-10:0.01:0];
> x2=[0.01:0.01:10];
> lambda = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = lambda .* exp(- lambda .* x2);
> plot([x1 x2], [zeros(size(x1) f_x)])

Esponenziale bilatera, o di Laplace

$f(x)=\frac{\lambda }{2}{e}^{-\lambda |x|}\lambda >0$

> x=[-10:0.001:10];
> lambda = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = lambda/2 .* exp(- lambda .* abs(x));
> plot(x, f_x)

Variabile casuale di Rayleigh di parametro $b>0$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{2x}{b}\cdot e^{-\frac{x^2}{b}}& x\ge 0\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

> x1=[-10:0.01:0];
> x2=[0.01:0.01:10];
> b = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = x2 .* 2/b .* exp(-x^2./b)
> plot([x1 x2], [zeros(size(x1) f_x)])

Mixture gaussiane

Sono le variabili casuali le cui densità di probabilità si possono scrivere come combianzione lineare di gaussiane pesate.

Variabili casuali notevoli discrete

Variabile casuale di Bernoulli

La variabile casuale di Bernoulli è di parametro $p$.

$p^x\cdot (1-p{)}^{1-x}=p\delta (x-1)+(1-p)\delta (x)$

ed è valida soltanto per $x=0,1$

> x=[0,1];
> p = .2; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = [(1-p), p];
> stem(x, f_x)

Binomiale di parametri $p$ e $n$

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})\cdot p^x(1-p{)}^{n-x}& x\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

$f_X(x)=\sum _{k=0,n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^k(1-p{)}^{n-k}$

Variabile casuale poissoniana

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}& x\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

da cui

$f_X(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\delta (x-k)$

Questa variabile casuale è utile per le prove ripetute con $np=\lambda$ e $n\to \mathrm{\infty }$