Indipendenza tra eventi

È importante notare la differenza tra i due concetti di eventi indipendenti ed eventi disgiunti.

Eventi indipendenti multipli

Nota: dalla definizione si deduce che non basta verificare

$P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=\prod _{i=1}^{n}P(A_i)$

ma bisogna controllare che questo sia vero per ogni sottoinsieme di indici $I$.

Probabilità totale

Nota: non è necessario, per il teorema della probabilità totale, che

$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\mathrm{\Omega }$

Per la soluzione, si veda la pagina di soluzione.

Indipendenza condizionata tra eventi

È da notare che l'indipendenza condizionale non implica l'indipendenza tra $A$ e $B$; vale anche il viceversa. Banalmente, si verifica se $C=\mathrm{\Omega }$.

Spazi di probabilità prodotto

Consideriamo il caso $n=2$ per semplicità. Sia $G$ l'algebra generata dagli insiemi ottenuti come unione finita di insiemi disgiunti di forma

$A_1\times A_2\text{ con }{A}_1\in F_1,A_2\in F_2$

Allora

$A_i\in G\Rightarrow \sigma (G)=\bigcup _{k=1}^P(A_{1k}\times A_{2k}),A_{1k}\in F_1,A_{2k}\in F_2,k=1,\cdots ,P$

Inoltre,

$(A_{1i}\times A_{2i})\cap (A_{1j}\times A_{2j})=0\mathrm{\forall }i\ne j$

Si ha $\sigma (G)=F$, perché

• $A_1\times A_2\in \sigma (G)$
• $F_1\otimes A_2$ è la più piccola che contiene insiemi della forma $A_1\times A_2$

Consideriamo

$m_0:G\to [0,+\mathrm{\infty }]|m_0(A)=\sum _{k=1}^P{m}_1(A_{1k})\cdot m_2(A_{2k})$

Si può dimostrare che questa è una premisura $\sigma$-finita su $G$. L'estensione di $m_0$ sulla $\sigma$-algebra $F_1\otimes F_2=\sigma (G)$ è detta misura prodotto ed è indicata con $m_1\times m_2$.

Spazio di probabilità prodotto come modello probabilistico per eventi indipendenti

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