Prove ripetute

Template:Risorsa Le prove ripetute sono un caso particolare di prove indipendenti, infatti si ripetono $n$ prove indipendenti dello stesso esperimento casuale $({\mathrm{\Omega }}_1,F_1,P_1)$.

Lo spazio di probabilità è $(\mathrm{\Omega },F,P)$ dove

• $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\times \cdots \times {\mathrm{\Omega }}_n$
• $F=F_1\times F_2\times \cdots \times F_n$
• $P=P_1\times P_2\times \cdots \times P_n$

Prove bernoulliane

Le prove bernoulliane sono un sottocaso delle prove ripetute che rispondono alla domanda "l'evento si verifica o no?". Nel settore delle telecomunicazioni, potrebbe essere per esempio "l'errore si verifica o no?".

Le prove bernoulliane sono delle prove ripetute in cui si pone l'attenzione su un evento $A\in F_1$, chiamato successo, che si verifica con probabilità

$P_1\left(A\right)=p$

in ogni singola prova. $\overline{A}$ è detto insuccesso e si verifica con probabilità

$P_1\left(\overline{A}\right)=1-p=q$

Dato che $A$ è l'evento di interesse, si può considerare

$F_1=\{\varnothing ,A,\overline{A},{\mathrm{\Omega }}_1\}$

con

• $P_1(A)=p$
• $P_1(\overline{A})=q$

In generale, si vuole determinare la probabilità $P_n(k)$ che, su $n$ prove, l'evento $A$ si verifichi $k$ volte in un qualunque ordine.

Consideriamo lo spazio di probabilità prodotto $(\mathrm{\Omega },F,P)$ associato alle $n$ prove. L'evento di interesse è

$B=\{B_1\times B_2\times \cdots \times B_n\}\text{ t.c. }{B}_i\in A,i\in I,B_j\in \overline{A},j\in \overline{I}$

dove $I$ è un qualsiasi insieme di indici con cardinalità $k$.

Nel caso di prove ripetute bernoulliane, il numero di configurazioni con $k$ volte $A$ e $(n-k)$ volte $\overline{A}$ è pari al valore

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Il numero delle possibili combinazioni di questo tipo è pari a $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Indichiamo con $B_i$ una di queste possibili configurazioni e $B(k)$ l'evento che contiene tutte le possibili combinazioni favorevoli,

$B(k)=\bigcup _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{B}_i$.

La probabilità di questo $B(k)$ è

$P((A\times A\times \cdots A\times \overline{A}\times \overline{A}\times \cdots \times \overline{A}))=p^k\cdot q^{n-k}$

cioè

$P_n(k)=P(B(k))=\sum _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}P(B_i)=\sum _{i=1}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{p}^k\cdot q^{n-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

Gli eventi $B(k),k=0,1,...,n$ sono tra di loro disgiunti, con

$\mathrm{\Omega }=\bigcup _{k=0}^{n}B(k)$

Dato che $P_n(K)$ soddisfa l'assioma di probabilità

$1=P(\mathrm{\Omega })=\sum _{k}P(B_k)=\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$

allora si ha che

$\sum _k{P}_n(k)=1$

Concludendo, $P_n(k)$ segue una legge di probabilità binomiale.

Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.

Per la soluzione dell'esercizio, vedere la pagina di soluzione.